Алгебра и топология (стр. 2 из 8)
1) x£
;2) если x£y, то
£ 
;3)
= , то есть замыкание любого элемента совпадает со своим замыканием;4) замыкание объединения двух (а поэтому и любого конечного числа) подмножеств из C равно объединению замыканий этих подмножеств:
;5) всякое подмножество, состоящее из одного элемента, замкнуто.
Элемент x называется замкнутым если он совпадает со своим замыканием.
Во всяком частично упорядоченном множестве можно давать тривиальное замыкание, полагая
= 
для всех .Отношение замыкания задано также, если система подмножеств множества C частично упорядочена по теоретико-множественному включению.
Если в множестве C задано отношение замыкания, то само множествоCзамкнуто, как замыкание самого себя. И пересечение любой системы замкнутых подмножеств в C само замкнуто.
Системы открытых и замкнутых множеств являются взаимнодополняющимися.
Ряд понятий топологии (окрестность точки, точки прикосновения и другие) рассматриваются, как правило, в основном курсе высшей математики. Здесь остановимся лишь на тех положениях, которые обычно не находят там отражения.
Связность – свойство топологического пространства, состоящее в том, что пространство нельзя представить в виде суммы двух отдельных друг от друга частей – непустых непересекающихся открыто-замкнутых подмножеств. Пространство, не являющееся связным, называется несвязным. Например, обычная евклидова плоскость – связное пространство; если удалить какую-либо окружность, не сводящуюся к точке, то остаток уже несвязен. Связность пространства сохраняется при гомеоморфизмах.
Абстрактное свойство связности является обобщением линейной связности, то есть свойства пространства, заключающегося в возможности связать любые его две точки некоторым путем.
Компактность – свойство, состоящее в том, что каждое бесконечное подмножество пространства имеет предельную точку, то есть такую точку данного подмножества, любая окрестность которой содержит, по крайней мере, одну точку этого подмножества, отличную от точки именуемой предельной. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым, а совокупность всех предельных точек называется производным множеством.
Размерность – целочисленный инвариант пространства C (обозначение dimC – Лебега размерность), определяемый следующим образом:
– dimC = -1, если C=Æ;
– dimC£n, если топологическое пространство не пустое и не более, чем n – мерно;
– dimC = n – пространство называется n-мерным.
Вес – кардинальное наименьшее число, являющееся мощностью базы топологического пространства, то есть такого семейства B открытых подмножеств пространства C, что каждое открытое множество GÌC является объединением элементов
ÌB.Фундаментальная группа (группа Пуанкаре) – группа
(C, x0) пунктированного, то есть с отмеченного точкой x0, пространства C. Элементами фундаментальной группы служат гомотопические классы замкнутых путей в C ( – символ фундаментальной группы).Гомотопия, гомотопность двух непрерывных отображений f и g (f, g: C®U) есть существование такого семейства непрерывных отображений ft: C®U, непрерывно зависящих от параметра tÎ[0,1], что f0=fn, f1=g. Это семейство (называемое гомотопией, связывающей f с g) является путем в пространстве F(C,U) всех непрерывных отображений C®U, связывающих точку f с точкой g.
Гомологии группа топологического пространства – группа, которая ставится в соответствие топологическому пространству с целью алгебраического исследования его топологических свойств в рамках алгебраической топологии. Частью алгебраической топологии является теория гомологии, осуществляющая связь между топологическими и алгебраическими понятиями: приводя в соответствие каждому пространству определенную последовательность групп, а непрерывному отображению пространства – гомоморфизмы соответствующих групп.
Таким образом, по свойствам групп и их гомоморфизмов можно судить о свойствах пространства и отображений, в частности о тех, что приводились выше.
3. Метрика – понятие, характеризующее «расстояние» на множестве C. Это некоторая функция
с неотрицательными действительными значениями, определяемая на декартовом произведении C´C. Функция 
должна удовлетворять при любых x, yÎC условиям:1)
(x, y)=0 тогда и только тогда, когда x=y (аксиома тождества);2)
(x, y) + (y, z) ³ (x, z) (аксиома треугольника);3)
(x, y) = (y, x) (аксиома симметрии).Пример 5.3.
1. На любом множестве имеется дискретная (тривиальная) метрика:
=1, (x¹y) и =0, (x=y).2. В пространстве действительных чисел Rn возможны метрики:
, 
.Или в общем виде:
,здесь {xi}, {yi}ÎRn.
3. В функциональных пространствах (см. ниже), в частности, для множества непрерывных функций на отрезке [a,b] существуют:
· равномерная метрика:
,· интегральная метрика:
.4. Для метрического пространства возможна внутренняя метрика:
при условии, что любые две точки пространства с метрикой
, соединимы кривой n(x,y), а 
– длина кривой в метрике .5. Метрика для нормированных множеств (определена действительная функция и (мера)) булевой алгебры представляется выражением:
.Обычно m(1)=1, а m(0)=0.
5.2 Пространства.
1. Метризуеимое и метрическое пространства. Множество C, на котором может быть введена метрика, называется метризуемым пространством. Множество C, наделенное метрикой – метрическое пространство.
Один из общих критериев метризуемости, основанный на концепции локальной конечности, формируется так: пространство C метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.
Регулярным пространством называется топологическое пространство, в котором для каждой точки x и каждого не содержащего ее замкнутого множества A найдутся непересекающиеся множества B и C такие, что xÎB и AÎC.
Локально конечное семействF множеств – такое семейство, что у каждой точки пространства C есть окрестность, пересекающаяся лишь с конечным множеством его элементов.
Класс метрических пространств внутренним образом связан с классом метризуемых пространств. В этой связи следует отметить, что метрика индуцирует (порождает) топологию
и две метрики эквивалентны, если они индуцируют одну и ту же топологию.Расстояние между точками можно использовать для определения расстояния между точкой и множеством.
Расстояние
(x, A) от точкиxдо множества А в метрическом пространстве {C, } определяется как inf{ (x, y) |yÎA}. Точка x объявляется абсолютно близкой ко множеству A, если (x, A)=0.