Определение расстояния Хемминга векторами пространства свойств систем A1,A2,A3 и A4 и функцией
показывает, что лучшим приближением к набору наиболее «проявленных» свойств является система A3.В теории дискретных структур используется иногда понятие обобщенная метрика Хемминга. Смысл обобщения состоит в распространении оценки расстояния и на нечеткие множества. Последнее означает (см §4.3, п.1) введение вместо дискретной функции принадлежности m(x)={0,1} («не принадлежит» рассматриваемому множеству –0, «принадлежит» – 1) функции принадлежности m(x), определенной на множестве рациональных чисел, обычно на отрезке m(x)=[0,1].
С формальной стороны такое «обобщение» переводит метрику Хемминга в общеизвестную форму линейной метрики (см. пример 5.3, п.2). В самом деле,
(5.4),подобна
(x, y) в п. 2 примера 5.3.Представляется, что тонкость состоит в том, что фактически вводится в метрику некоторая функция-множитель – в данном случае характеристическая функция принадлежностиm(x) при этом часто неявно полагают все xij={1} (как, кстати, и сделано в примере 5.11, в таблице 5.1 – свойства xj(
) в общем существуют, но уровень их не определен и в данном случае, не учитывается).Такой подход открывает широкий спектр «обобщений» путем введения разнообразных функций-множителей.
Так, например, в теории эффективности систем распространено применение весовой функции, оценивающей «значимость» отдельный свойств (координат векторного пространства) в общем, показатель совершенства системы.
Отметим отличие весовой функции от характеристической. Значения весовой функции g(x), где xÎX, взаимосвязаны соотношением:
(5.5).Здесь C некоторая величина, зависящая от выбора множества значений функции g(x).
Так, значениями g(x) могут быть ранги элементов. В простейшем случае это натуральные числа номеров мест в соответствие со значимостью xjÎXj=1, 2,…, n=|X|. Тогда
.Чаще всего используют приведенные значения функции g(x)
,определенные на полуинтервале (0,1].
Функция принадлежности m(xj) для каждого элемента xjÎX ограничена лишь тем множеством М, на котором она определена.
Обычно М задают на отрезке [0,1]. Если суммировать принадлежности элементов x из множества мощности |C|=n, то сумма будет лежать в пределах
(5.6).При этом верхнее значение имеет место, когда все mj=1, а нижнее при всех mj=0, (
).Кроме того, алгебры весовых и характеристических функций различны. Первых – алгебра множеств рациональных чисел, а алгебра характеристических функций – одна из модификаций булевой алгебры (см. §2.3).
Если задать некоторую функцию f, например, предельную
или среднюю , в пространстве X, со значениями соответственно или , то близость систем по своим свойствам к функции будут отражать метрики: (5.7) (5.8).Нетрудно видеть, что здесь весовая функция взята в виде набора постоянных коэффициентов, «взвешивающих» те или иные свойства системы в независимости от уровня этих свойств. При таких условиях на различие метрик d1 основное влияние оказывают значения m(x) и x. Однако при метриках d2 на их различие влияют все составляющие m(x), x и g.
В следующем примере 5.11.а дана детальная иллюстрация оценки близости в рассматриваемом пространстве X соответствующих множеств (систем) по набору их свойств на основе введения различных по структуре метрик.
Пример 5.11.а. Используя в качестве исходных данных пример 5.11, получим сравнительные оценки близости множеств A1,A2,A3 и A4.
С этой целью зададимся значениями показателя принадлежности m для всех возможных характеристик систем (табл. 5.2). При этом, там, где в табл. 5.1 показатель принадлежности равен 1, в табл. 5.2 назначим m(x)>0,5, в противоположном случае примем m(x)£0,5. В нижней строке табл. 5.2 приведены показатели для формирования мажорирующих функций. Здесь значения m(x) определялось по схеме.
||mij|| Таблица 5.2
xj Ai | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 |
A1 | 0,6 | 0,8 | 0,7 | 0,6 | 0,5 | 0,3 | 0,2 | 0,1 |
A2 | 0,1 | 0,2 | 1,0 | 0,9 | 0,9 | 0,3 | 0,7 | 0,4 |
A3 | 0,6 | 0,4 | 0,7 | 0,2 | 0,5 | 0,8 | 0,9 | 0,4 |
A4 | 0,6 | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,8 | 0,9 | 1,0 |
0,475 | 0,450 | 0,675 | 0,475 | 0,575 | 0,550 | 0,675 | 0,475 | |
0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
||xij|| Таблица 5.3
xj Ai | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 |
A1 | 0,9 | 0,8 | 0,6 | 0,6 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,2 |
A2 | 0,2 | 0,1 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,1 | 0,9 | 0,1 |
A3 | 0,2 | 0,2 | 0,3 | 0,1 | 0,1 | 0,9 | 0,8 | 0,6 |
A4 | 0,6 | 0,2 | 0,1 | 0,1 | 0,2 | 0,6 | 0,6 | 0,2 |
0,20 | 0,08 | 0,15 | 0,10 | 0,05 | 0,25 | 0,12 | 0,05 |
Такой подход связан с тем, что ближайшими числами к 1, являются числа большие 0,5, а к 0 – меньшие 0,5.
Число 0,5 приравнивается к 0 из тех соображений, что булева мажоранта (см. пример 5.11) ровна нулю, если одинаково число единиц и нулей в множестве ее переменных.
Таблица 5.4, в которой в метрику введены только весовые коэффициенты, а показатели принадлежности точно такие же, какие использованы в таблице 5.1, показывает существование влияния весовых коэффициентов на близость к соответствующим функциям сравнения. При этом следует отметить совпадение оценки в предыдущем разделе примера по мажоранте и средней функции в данной части (вновь наибольшей близостью отличается система A3).
Таблица 5.4
Свойства Системы | x1 | x2 | x3 | x4 | x5 | x6 | x7 | x8 | |
при изтабл. 5.1 из табл. 5.3и все xij={1}. | A1 A2 A3 A4 | 20 | 8 | 15 | 10 | ||||
15 | 10 | 5 | 12 | ||||||
20 | 15 | 25 | 12 | ||||||
20 | 25 | 12 | 5 | ||||||
– мажоранта при | 20 | 15 | 12 | ||||||
, | 0 | 8 | 0 | 10 | 0 | 0 | 12 | 0 | |
, | 20 | 0 | 0 | 10 | 5 | 0 | 0 | 0 | |
, | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 25 | 0 | 0 | |
, | 0 | 0 | 15 | 0 | 0 | 25 | 0 | 5 | |
– средняя при | 15 | 2 | 11,25 | 5 | 1,25 | 12,5 | 9 | 1,25 | |
, | 5 | 6 | 3,75 | 5 | 1,25 | 12,5 | 9 | 1,25 | |
, | 15 | 2 | 3,75 | 5 | 3,75 | 12,5 | 3 | 1,25 | |
, | 5 | 2 | 3,75 | 5 | 1,25 | 12,5 | 3 | 1,25 | |
, | 5 | 2 | 11,25 | 5 | 1,25 | 12,5 | 3 | 3,75 |
Таблицы 5.5 и 5.6 рассчитаны при введении в метрику и весовых коэффициентов и уровней характеристик систем, соответственно при целочисленных значениях x показателей принадлежности и достаточно произвольной выборки на отрезке [0,1]. В последнем случае оговорка «достаточно» связана с тем, что набор показателей принадлежности ограничивался близостью к установленным их значениям в табл. 5.1, в остальном же, осуществлялся произвольно.