Алгебра и топология (стр. 8 из 8)
(A, B)=HK(B, A) длялюбых A, BÎObK.Возникает понятие контрвариантного функтора из Kв K¢, под которым понимается ковариантный функтор из K* в K¢. Отметим так же, что наряду с функтором одного аргумента можно рассматривать и функторы многих аргументов.
Для каждого предложения теории категорий существует двойственное (дуальное) предложение. При этом справедлив принцип двойственности: предложение p истинно в теории категорий тогда и только тогда, когда в этой теории истинно двойственное предложение p*.
Многие понятия в математике с категорной точки зрения являются двойственными друг другу: инъективность – проективность, многообразия и радикалы в алгебре и т. д. .
Актуальными в плане теории дискретных структур являются также категории, рассмотренные ниже.
Пример 5.14. Категория Alg(t) всех алгебр данного типа t и их гомоморфизмов. Если A и B – две алгебры типа t, то Hom(A, B) – это совокупность всех гомоморфизмов алгебры A в алгебру B, а 1A – тождественный автоморфизм DA алгебры A.
Категория
называется подкатегориейK, если каждый -объект является K-объектом, каждый -морфизм является K-морфизмом, тождественные -морфизмы тождественны в K и произведение -морфизмов тоже, что и в K.Например, структуры и структурные гомоморфизмы образуют подкатегорию Str категории StÙ упорядоченных множеств и гомоморфизмов между ними, а категория Boole-A булевых алгебр и их гомоморфизмов будет подкатегорией категории Alg(2, 2. 1, 0, 0).
Пример 5.15. Натурально нумерованные множества M образуют категорию StN, в которой они выступают в роли объектов MÎObStN. Морфизмом из натурально нумерованного множества M1 (с нумерацией m1) в натурально нумерованное множество M2 (с нумерацией m2) называется отображение a: M1®M2, для которого существует всюду определенная на N вычислимая функция f такая, что
(5.11)(см. в частности, п. 1 настоящего параграфа).
Категория StN множеств натуральной нумерации является подкатегорией категории StS, образованной всеми нумерованными множествами, а не только натурально нумерованными.
* Клон операции – всякое замкнутое относительно композиции множество конечномерных операций вида w: Аn® А, содержащее все единичные операции
для любого набора 
. Композиция – операция вида 
, где для множеств C,U и Z ={z1 ,…, zl} выполнено 
.