Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра (стр. 10 из 11)

Пусть дано поле P. P[x]- кольцо многочленов от одной переменной над полем P. Обратимся к понятию алгебраической замкнутости поля P. Напомним, что поле Р называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен f(x)ÎP[x] обладает хлтя бы одним корнем. Введем такое понятие: элемент aÎР называется алгебраическим над полем Р, если существует f(x)ÎP[x], для которого a является корнем.

Пусть дано поле Р и aÏР, aÎF – поле.

Определение 1. Простым расширением поля Р с помощью элемента a называется наименьшее подмножество поля F, содержащее Р и a. Простое расширение поля Р с помощью aÎF обозначается Р(a).

В вопросе решается проблема о строении Р(a) и возможности применения этой теории для освобождения знаменателя дроби от алгебраической иррациональности. Для решения обозначенной проблемы рассмотрим Р[a]={f(a)/f(x)ÎP[x]}, где Р[a]={a₀+a₁a+...+a_naⁿ/a_iÎP, nÎN}.

Легко проверить, что Р[a] подкольцо поля Р(a).

Теорема 2. Пусть Р[x] – кольцо над Р, Р(a) – простое расширение Р с помощью элемента a. Пусть y: Р[х] на Р[a] – отображение такое, что y(f(x))=f(a). Тогда:

1⁰. "aÎP, y(a)=a;

2⁰. y(x)=a;

3⁰. y – гомоморфизм и эпиморфизм;

4⁰. Ker y ={f(x)Î Р[x]/ f(a)=0Î Р[a]};

5⁰. Фактор-кольцо Р[х]/Ker y изоморфно кольцу Р[a].

n 1⁰ и 2⁰ следуют из определения y.

3⁰: y(f(x)+g(x))= f(a)+g(a), y(fg)=f(a)g(a), y(1)=1, это проверяется непосредственно, поэтому y – гомоморфизм; "f(a)ÎР[a], $ f(x)Î Р[x], y(f(x))=f(a) Þ y – эпиморфизм.

4⁰: следует из существования Ker f для гомоморфизма и из определения y.

Рассмотрим 5⁰. Так как Ker y – идеал Р[х], то становится возможным Р[х] факторизовать, получить Р[х]/Ker y, тогда по основной теореме об эпиморфизме колец Р[х]/Ker y º Р[a].

e: Р[x]® Р[x]/Kery, e (f(x))=Kf(x).

j: Р[x]/Kery® Р[a], где

j(Kf(x))=f(a)Þ j – изоморфизм.

Следствие 3. Если a - трансцендентный элемент над полем Р, то Р[х]@ Р[a].

n В силу трансцендентности a над Р, Kery={0} и Р[x]/{0}@ Р[a], кроме того e – изоморфизм, то есть Р[x]/{0}@ Р[x] следовательно, Р[x]@ Р[a].

Определение 4. Пусть Р[х] – кольцо многочленов над полем Р. Пусть a – алгебраический элемент над полем Р. Минимальным многочленом * a над Р называется нормированный многочлен наименьшей степени, для которого a является корнем.

Обозначим минимальный многочлен для a над Р через g(x), deg g(x)=n называют степенью алгебраического элемента a над Р.

Легко показать:

1) g(x) существует для каждого алгебраического элемента;

2) g(х) – неприводимый многочлен в Р[х] над Р;

3) g(x) для a определяется однозначно.

(1) – вытекает из определения алгебраического элемента.

(2) – из определения минимальности g(x).

(3) – из предположения, что существует два многочлена * g и h и их неприводимости, они ассоциированы, а так как они неприводимы, то g(x)=h(x).

Теорема 5. Пусть a алгебраический элемент степени n над Р (aÏР) и g(x) – его минимальный многочлен степени n, тогда имеют место:

1⁰. Если f(a)=0, где f(x)Î Р[х], то f(x)M g(x);

2⁰. Р[х]/(g(f))@ Р[х];

3⁰. Р[х]/(g(f)) – поле;

4⁰. Р[a]=Р(a).

n Пусть a корень f(x), то есть f(a)=0, известно, что g(a)=0, тогда (f,g) либо 1, либо нет. Первое невозможно, так как по известной теореме f(x)M (x-a) и

g(x)M(x-a). Следовательно, (f,g)¹1, то есть они не являются взаимно простыми, поэтому f(x) делится на g(x).

Зададим гомоморфизм y: Р[х]® Р[a], y(f(x))=f(a)ÞKer y={f(x),f(a)=0} состоит из многочленов, делящихся на g(x), поэтому Ker y=J=(g(x)) – идеал Р[х]Þ Р[х]/(g(x)) @ Р[a] (*), так как Р[a]ÌР(a), то Р[a] – область целостностиÞ Р[х]/(g(x)) в силу (*) тоже область целостности. Покажем, что любой элемент из Р[х]/(g(x)) ненулевой обратимый.

Пусть

смежный класс, , то f(a)=0, тогда f(x) не делится на g(x)Þ(f(x),g(x))=1Þ

, но Þ Þ , что и требовалось доказать, то есть Р[х]/(g(x)) – поле, а так как эта алгебра изоморфна Р[a], то Р[a] тоже поле являющееся подполем поля Р(a). Но Р(a) минимальное подполе поля F, следовательно, Р(a) Ì Р[a], откуда получаем, что Р[a]=Р(a).

Эта теорема позволяет установить строение простого алгебраического расширения Р(a).

Пусть a - алгебраический элемент над P, а Р(a) – простое алгебраическое расширение P, пусть степень a равна n>0. Тогда

Теорема 6. Любой элемент поля Р(a) однозначно представим в виде линейной комбинации n элементов 1,a,...,a^n-1 с коэффициентами из P.

4)

Вопрос 15. Простые и составные числа.

Рассмотрим N – натуральные числа. Введем понятие простого и составного числа.

Опр.1 N ' а называется делящимся на число вÎN, в > 0, если существует такое число с, что а = вс, при этом а – делимое, в – делитель, с – частное.

Все натуральные числа, в связи с отношениеми делимости на , разбиваются на группы: {0}, {1}, {р₁, р₂,…,…}, {а₁, а₂,…}, где 1 обладает только один делитель, р_i – двумя, а для а_i существует более двух.

Опр.2 Натуральное число р называется простым, если оно имеет ровно два различных делителей. (1 и само число р), составным, если имеет более двух делителей.

Введенное определение позволит выражать числа натуральные через простые. Это описывается теоремой, которую называют основной теоремой арифметики.

Теорема. 3 Любое n Î N, n > 1 можно единственным образом представить в виде произведения простых чисел с точностью до перестановки сомножителя.

В теореме содержится две теоремы: о существовании разложения и его единственности.

(7) Пусть n Î N, n > 1. Для доказательства исследуем метод математической индукции.

n = 2, 2 – простое число, следовательно n = 2 и есть его разложение.

Предположим, что для любого натурального числа, меньшего n, теорема верна и докажем для n.

Пусть дано натурально n, если оно простое, то это и есть его разложение. Если n составное, тогда n = вс, где в,с Î N и меньше n. По предположению индукции разложение их на простые множители существует, поэтому оно существует и для n. На основании принципа математической индукции, можно утверждать истенность теоремы для любого n Î N, n > 1.

(!) Докажем единственность разложения на простые множетели методом математической индукции.

n = 2, 2 = 2. Разложение единственное.

Допустим, что для любого числа натурального, меньшего n утверждение справедливо и докажем для n. Если n простое число, то это и есть его разложение и оно единственно. Если n составное, то оно допустит разложение на простые числа. Предположим, что таких разложений оказалось два: n = p₁p₂ ^¼ p_к = q₁q₂ ^… q_s (1). Из равенства (1) видно, что “правая часть” делится на p₁. А т.к. в “правой части числа простые”, то

1) существует число q_i, которое делится на p₁;

2)

(p₁, q_i) = 1. Следовательно, p₁ = q_i. Пусть q_i = q₁, разделим обе части равенства (1) на p₁, получим, что и “левая часть” и “правая часть” числа натуральные, меньше n, а для них разложение единственное с точночтью до перестановки сомножителя. Поэтому при соответственно мы получаем, что n = p₁p₂ ^¼ p_к – разложение n и это разбиение единственное. Что и требовалось доказать.

Если среди простых множителей окажутся равные, то их объединяют в степень и получают представление n Î N в виде:

, которое называют каноническим разложением натурального числа.

В теории натуральных чисел имеет место теорема, решающая вопрос о количестве простых чисел во множестве N.

Теорема 4. (Евклида) Множество простых чисел в N бесконечно.