Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра (стр. 2 из 11)

x_i= , где = A ,

Dx_i-определитель матриц, полученных из А заменой i-столбца столбцом свободных членов.

Пусть (1) åa_ijx_j=b_j, i=j=1,n, |A| ¹0. Запишем систему (1) в виде матричного уравнения (2): AX=b, где А-основная матрица системы, .

X₁ b₁

X= X₂ , b = b₂

.. ..

x_n b_n

Если |A| ¹0® $ А^-1 Þ А^-1АХ=А^-1b Þ X=A^-1 b. Известна теорема утверждающая, что A^-1 = A^* , где A^* -присоединенная матрица к матрице A, она состоит из алгебраических дополнений элементов, расположенных в столбцах. Тогда:

A₁₁ A₂₁ .. A_n1 b₁ b₁A₁₁+b₂A₂₂+..+b_nA_n1

X= A^* b = A₁₂ A₂₂ .. A_n2 b₂ = b₁A₁₂+b₂A₂₂+..+b_nA_n2 =

........................ ... ...................................

A_1n A_2n .. A_nn b_n b₁A_1n+b₂A_2n+..+b_nA_nn

x₁

= x₂ ,

......

x_n

что и позволит получить формулу: X_i= , где = A , i=1,n

Вопрос 4. Бинарные отношения.

Математика как наука отражает мир взаимодействующих простых и сложных объектов (вещей, явлений, процессов). Абстрагируясь от реальности, математика рассматривает унарные, бинарные и другие отношения.

В вопросе требуется рассмотреть бинарные отношения, их свойства и особо обратить внимание на отношение эквивалентности, заданного на одном множестве. Рассмотрим прямое произведение двух множеств. A*B={a,b}, aÎA, bÎB}. Мы имеем множество упорядоченных пар. Есть смысл рассматривать его подмножество, которое и носит название “бинарное отношение”.

Опр.1 Бинарным отношением, заданным на множестве А, называется подмножество прямого произведения А*А. В силу своей природы, бинарные отношения являются множеством упорядоченных пар элементов из А.

Обозначения: W={(a,b) /,a,bÎA}; aWb, a,bÎA; (a,b)ÎW,где a,bÎA

Например, бинарные отношения являются:

1. "^"на множестве прямых.

2. "=" на множестве чисел.

3. " @ " изоморфизм на множестве алгебр.

4. " ~ " эквивалентность систем и др.

Бинарные отношения могут обладать свойствами:

1) рефлексивность: "aÎA, aWa;

2) симметричность: "a,bÎA, aWbÞbWa;

3) транзитивность: "a,b,c ÎA,aWb и bWcÞaWc

4) связность: "a,bÎA,aWbÞbWa;

5) антирефлексивность: "aÎA,(a,a)ÏW;

6) антисимметричность: "a,bÎA,aWb,bWaÞa=b

В зависимости от того, каким набором свойств обладают отношения, они допускают

классификацию, которую представим схемой:

Бинарное

отношение

функциональность эквивалентность: порядок:

"xÎA, $! yÎA: рефлексивность, антисимметричность,

f:x®y cимметричность, транзитивность

транзитивность

строгий порядок: нестрогий порядок:

антирефлексивность рефлексивность

частичный порядок: полный порядок:

не обладает свойством обладает связностью

связности

Остановимся на отношении эквивалентости, то есть на отношении WÌA*A, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.

Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.

Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.

Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.

Теорема 2. Бинарное отношение задает на A¹0 разбиение.

Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности: