Ka={x/xWa /x,aÎA} a-образующий элемент класса.
свойствами рефлексивности, симметричности, транзитивности. Легко проверить, что примерами таких отношений являются "=", "~", "сравнение по модулю", изоморфизм алгебр и другие.
Отношение эквивалентности играет большую роль в математике, значимость его определяется тем, что оно задает разбиение, а потому позволяет получать новые множества. Рассмотрим это подробнее.
Разбиением множества называется совокупность непустых подмножеств, непересекающихся, объединение которых совпадает с данным множеством.
Имеет место теорема, которая позволяет рассматривать отношение эквивалентности как разбиение.
Теорема 2. Бинарное отношение задает на A¹0 разбиение.
Для доказательства теоремы введем такое понятие как класс эквивалентности:
a-образующий элемент класса.
Классы эквивалентности обладают свойствами:
1. " aÎA попадает в какой-либо класс, что означает, что Ka¹0 . Это утверждение следует из введенного определения класса.
2. Любые два элемента из класса находятся в отношении, т.е. если b,cÎKa , b w c.
c,bÎKaÞ a w c, Þ c w a , Þ c w b
a w b a w b
Это свойство позволяет утверждать, что любой представитель класса может являться его образующим.
3°. Классы не пересекаются, т.е. КаÇКb=Æ
Пусть КаÇКb¹Æ®$сÎКаÇКbÞсÎКа,сÎКbÞсWа,cWbÞаWс,сWbÞаWbÞКа=Кb.
Свойства классов и позволяют утверждать истинность теоремы: A,W-эквивалентности ÞKa ,Kb ,...Þ
a) классы-подмножества A;
b) классы-неизвестного подмножества;
c) классы-не пересекающиеся;
d) ÈKa =A , аÎА
Имеет место и обратное утверждение.
Теорема 3.Если на А задано отношение Rs, соответствующее разбиению S, то Rs-отношение эквивалентности .
Пусть A, Rs, S-разбиения, следовательно, A разбивается на подмножества, объединение которых составляет A.
Если подмножества рассматривать как классы, полученные в результате отношения Rs: "принадлежность одному подмножеству", то легко доказать, что все свойства классов имеют место, поэтому Rs-эквивалентность.
Обозначим множество классов эквивалентности через A/w. Это новое множество называют фактор-множеством. Итак, A/w= { Ka /a ÎA } .
Рассмотрим некоторые примеры применения теории отношении эквивалентности:
1. Hа множестве дробей {a/b, аÎZ, bÎN} зададим отношение "=": а/b=с/dÛad=bс.
Тогда класс эквивалентности Ка/b={x/y| x/y=a/b}-рациональное число, а {Ka/b}=A/W-множество рациональных чисел.
2. Z, “º”: aºb(mod m)Û(a-b)Mm, {Ka}=Z/(m)=Zm-основное множество кольца классов вычетов.
3. Ф-множество фигур, " ~ "-подобие. Это отношение рождает понятие "форма фигуры" как класса подобных фигур.
Вопрос 5 . Элементы теории групп.
Алгебра как наука изучает различные алгебры: векторные пространства, группы, кольца. В вопросе требуется рассмотреть одну из них – группу. Определение группы задается аксиометрически и рассматривается одно из наиболее важных отношений, которое изучает эта наука, отношение эквивалентности, которое позволяет получать новые группы. Введем понятие алгебры.
Опр. 1. Алгеброй называется упорядоченная пара множеств <A,V>,где A-множество элементов любой природы, а V-множество алгебраических операций.
Опр. 2. Пусть дано множество A¹Æ . Алгебраическая операция “o ” на множестве А называется отображение f: А®А, т.е. для "a,bÎA, ($!) cÎA:aob=c
Опр. 3. Группой называется алгебра <G, o> с одной алгебраической операцией “ o ”,
удовлетворяющей свойствам (аксиомам):
1°."a,b,cÎG, ao(boc)=(aob)oc,
2°.$eG,"aÎG: eoa=aoe=a.
3°."aÎG, $a°ÎG:aoa°=a°oa=e.
e-нейтральный элемент относительно операции;
а°-симметричный относительно операции для а.
Группа, как алгебра, обладающая рядом свойств допускает классификацию. Представим ее схемой:
| |
Будем рассматривать дальнейшие теоретические вопросы в терминах мультипликативной группы.
Теорема 4 (свойства группы). В группе нейтральный элемент единственный, для каждого элемента обращение единственно, уравнения ax=b, xa=b разрешимы и имеют единственное решение.
1. Пусть для еÎG, $e1,e2-нейтральный (единственный), рассмотрим
(1):e1e=ee1=e.
(2): e2e=ee2, откуда получим:
e1=e1e=e1ee2=ee2=e2, т.е. e1=e2.
2. Пусть для aÎG, $a1-1, a2-1-обратный для а.
Рассмотрим (1): a1-1a=aa1-1=e
(2): a2-1a=aa2-1=e , откуда получим:
a1-1aa2-1=ea2-1=a2-1,
a1-1aa2-1=a1-1e=a1-1 Þa2-1=a1-1.
3. ax=b; aÎGÞ$a-1: aa-1=a-1a=e. Домножим уравнение на a-1: a-1ax=a-1bÞex=a-1bÞx=a-1b.
Пусть уравнение имеет два решения x1, x2:
ax1=b, ax2=b-равенства, домножим на а-1:
x1=a-1b, x2=a-1b.
В силу алгебраичности операции x1=x2, что и требовалось доказать.
Из определения группы видно, что G это множество, поэтому есть смысл рассматривать его подмножества. Среди подмножеств особый интерес представляют те, которые являются группами, т. е. замкнуты относительно той же групповой операции.
Опр. 5. Подмножество К группы <G, * > называется подгруппой, если оно само является группой <K, * > .
Теорема 6. (критерий подгруппы). Подмножество К группы G является подгруппой тогда и только тогда, когда выполнены два условия:
1°."a,bÎK, ab,baÎK.
2°."aÎK, a-1ÎK.
ÞG-группа, K Ì G. Пусть K p G (подруппы), тогда по определению К-группа. Следовательно, 1°,2° выполнены.
ÜG-группа, K Ì G, 1°, 2°. Покажем, что K p G, т. е. К-группа.
Для доказательства необходимо проверить четыре условия:
1. Замкнутость К относительно групповой операции.
2. Ассоциативность этой операции.
3. Существование нейтрального элемента.
4. Существование для каждого элемента обратного.
Из условия видно, что 1 и 4 выполнены. Второе имеет место в силу того, что КÌG. Проверим 3:
Т. к. "aÎK, $a-1ÎK ,условие 1°, то аa-1 Î К. Но аa-1= е, следовательно, еÎК, что и требовалось доказать. Критерий важен в теории групп тем, что сокращает процедуру проверки, является ли подмножество группой (подгруппой).
Особую роль в теории групп имеют подгруппы, называемые нормальными, или нормальными делителями. Выведем это понятие.
Пусть G-группа, K p G-подгруппа. Зададим отношение “сравнения по подгруппе К”:
aºb(mod K)Û ab-1 ÎK. Проверим, что отношение “º”-является эквивалентностью.
1).]aÎGÞ$ a-1G, aa-1=e, eÎKÞ aa-1ÎKÞ aºa(mod K)Þ ”º”-рефлексивно.
2).]aºb(mod K)Þab-1ÎK, (a-b-1)-1ÎKÞba-1ÎKÞbºa(mod K)Þ”º”-симметрично.
3).]aºb(mod K), bºc(mod K)Þab-1ÎK, bc-1ÎKÞ (ab-1)(bc-1)ÎKÞ ac-1ÎKÞ
aºc(mod K)Þ ”º”-транзитивно.
Таким образом, отношение сравнение по модулю в G является отношением эквивалентности, а эквивалентность, как известно, задает разбиение на G.
Обозначим класс эквивалентности, образованный элементами g ÎG, gЇ и покажем, что gЇ=Kg={hg| hÎK, gÎG}
Тогда множество классов эквивалентности, которые называются смежными классами группы G по подгруппе К, образуют фактор-множество.
{Kg| gÎG}=G/”º”-фактор-множество.
Аналогично можно вывести отношение сравнения по подгруппе иначе:
“aºb(mod K)Ûb-1aÎK”.
Для различения классы Кg и gК называют правым и левым, причем È Кg=G и ÈgK=G, a {Kg/gÎG} и {gK/gÎG}-образуют фактор-множества.
Возможен случай, когда для "gÎG, Kg=gK. В этом случае К обозначают буквой Н и называют нормальным делителем группы G по Н. Чем интересен этот случай? Оказывается, над смежным классом группы G по Н можно производить операции, а это позволяет рассматривать новую алгебру.
Зададим операцию “ * ” на множестве смежных классов {Hg/g}, где нормальная подгруппа группы G так: Hg1Hg2=Hg1g2 . Покажем, что выведенная таким образом операция является алгебраической, т. е. покажем, что умножение не зависит от представителей классов, т. е., если
a, a'ÎHg1, b,b'ÎHg2, то abºa'b'(mod H), т.е. ab, a'b'ÎHg1g2.
ab=(h1g1)(h2g2)=h1h2g1g2=hg1g2ÞabÎHg1g2;
a'b'=(h1'g1)(h2'g2)=h1'h2'g1g2=h'g1g2Þa'b'ÎHg1g2, следовательно
ab, a'b' принадлежит одному классу, т. е. Операция “ * ” на множестве классов является алгебраической, что и дает возможность рассматривать новую группу.
Теорема 7. Множество смежных классов группы G по нормальной подгруппе Н образуют группу.
Т. к. G, H p G-нормальная, {Hg/g G}=G/”º” . Зададим операцию: Hg1Hg2=Hg1g2. Покажем, что фактор-множество по введенной операции является группой.
1°.Hg1(Hg2Hg3)=Hg1(Hg2g3)=Hg1(g2g3)=H(g1g2)g3=Hg1g2Hg3=(Hg1Hg2)Hg3Þоперация ассоциативная.
2. Hg=He=H "Hg, H: HgH=HgHe=Hge=Hg, т. е. Н-выполняет роль нейтрального элемента на фактор-множестве.
3.Hg, Hg-1: HgHg-1=Hgg-1=He=H;
Hg-1Hg=Hg-1g=He=H, семейство класса Hg-1 выполняет роль обратного для Hg,
