Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра (стр. 4 из 11)
т.е. (Hg)-1=Hg-1.
так как все аксиомы имеют место, то мы имеем дело с группой. Ее обозначают G/H и называют фактор-группой.
 |
Вопрос 6 Элементы теории колец.
В вопросе требуется ввести понятие кольца, рассмотреть классификацию колец и построить фактор-кольцо.
Так как кольцо это пример одной из алгебр, то следует напомнить определение алгебры.
| Опр.1 | Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств <A,U>, где А  0 |
множество элементов любой природы, а U-множество операций.
Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций.
| Опр.2 | Кольцом называется алгебра < K,+,  > с двумя бинарными операциями, которые |
удовлетворяют следующим свойствам:
1. < K, +> - аддитивная абелева группа,
2. “
,, - ассоциативно,3. Имеет место два дистрибутивных закона, то есть
а,в,с 
К , а(в+с)=ва+са.Кольцо как алгебра допускает классификацию, представим её схемой:
 Кольцо |
    С единицей, т.е.   | Без единицы |
Коммутативны т.е.   | Не коммутативны  |
С делителями нуля, т.е.    | Без делителей нуля. |
Замечание: Определение всех классов колец предоставляется сформулировать читателю.
| Опр.3 | Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называеться областью |
целостности.
Примером области челосности является кольцо Z , колцо многочленов от одной переменной K
, где К- область челостности.Так как кольцо это алгебра, а алгебра это множество, то есть смысл говорить о его
подмножествах, среди которых особый интерес представляют подкольца.
| Опр.4 | Подмножество I кольца К называется его подкольцом, если оно само является |
кольцом относительно операции кольца К .
Для проверки является ли рассматриваемое подмножество кольца К его подкольцом удобно пользоваться критерием подкольца.
| Теорема 5. | (критерий подкольца) Подмножество I кольца К является подкольцом |
тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно вычитания элементов и умножения , т.е. если (1)
(2)
g - Пусть
(где “ 
,,- “ быть подкольцом ,,) .Покажем что (1) и (2) имеют место.Так как
, то он является кольцом, а кольцо это абелева група, тогда для 
, поэтому 
следовательно (1) выполнено. Выполнимость (2) вытекает из того что I замкнуто относительно умножения.- Пусть
, (1),(2) – выполнены. Покажем, что I – подкольцо, т.е. что I – кольцо.Для этого проверим выполнимость всех аксиом кольца. Из (2) следует, что I – замкнуто относительно умножения, ассоциативность умножения следует из того,что
.Рассмотрим условие (1). Пусть
,но 
, 
, ассоциатив -ность сложения вытекает из того что . Таким образом, все аксиомы кольца имеют место в I, следовательно, I – кольцо. Так как , то это подкольцо.Интересен случай подкольца, когда оно является идеалом. Введём это понятие.
| Опр. 6 | Подкольцо I кольца K называется идеалом если для  |
В кольце с
существует особый идеал: 
Такой идеал называется главным идеалом. Главный идеал является наименьшим подкольцом, образованным 
Пусть К является областью целостности. Зададим на нём отношение “сравнения по идеалу I ”.
| Опр.7 |  . Легко проверить, что “  “ – отношение эквивалентности: |
10.т.к.а-а=0ÎI, то отношение рефлексивно
20. Если а º в(mod I) Þ а-вÎI Þ в-аÎI Þ в º а(mod I) Þотношение симметрично
30.Если а º в(mod I), в º c(mod I) Þ а-вÎ I, в-сÎ I Þ (а-в)+(в-с)= а-сÎ I Þ
а º c(mod I) Þ отношение транзитивно.
Как известно, отношение эквивалентности задаёт разбиение.
Ка - класс эквивалентности по отношению сравнения по идеалу, называется классом вычетов. Классы вычетов обладают всеми свойствами классов эквивалентности, т.е.
1) классы эквивалентности не пустые,
2) классы не пересекаются,
3) классы состоят из элементов кольца, связанные заданным отношением
4) каждый элемент из K входит в один из классов
5) объединение классов вычетов совпадает с кольцом.
Множество классов вычетов {Ка /а
К} называется фактор-множество.Имеет место теорема о фактор-множестве.
| Теорема 8 | Фактор-множество с операциями сложения и умножения классов вычетов |
является кольцом.
Для доказательства выполним следующие процедуры:
1) зададим операции и проверим их корректность;
2) операции подчиняются аксиоматике кольца.
- 1).Ка+Кв=Ка+в , КаКв=Кав
Ка , 
Кв покажем, что а+в 