Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра (стр. 5 из 11)

Ка

, а+в

К_а+в , Кв

ав

Покажем, что

К_{а+в ,}

К_ав

Если

и

_а+в

_ав

что доказывает, что введённые операции корректны, т.е. являются алгебраическими.

2).К_а+(К_в+К_с)=К_а+К_в+с=К_а+(в+с)=К_(а+в)+с=К_(а+в)+К_с=(К_а+К_в)+К_с

сложение ссоциативно

К_а+К_в=К_а+в=К_в+а=К_в+К_а сложение коммутативно;

К_а+К₀=К_а+0=К_а

К₀=I идеал выполняет роль нулевого элемента относительно сложения;

К_а+К_(-а) = К_а+(-а)= К₀= I К_(-а)= -К_а –противоположные классы

К_а^.(К_в^.К_с) = К_а^.К_вс=К_а(вс)=К_(ав)с=К_ав^.К_с= (К_а^.К_в)^.К_с

К_а ^.(К_в+К_с) = К_аК_в+с= К_а(в+с)= К_ав+ас = К_ав+К_ас

Всё рассмотренное доказывает выполнимость аксиоматики кольца, поэтому

- кольцо. Оно обозначается и называется фактор-кольцом кольца К по идеалу I.

Кроме отношения сравнения по идеалу I в кольце рассматривается ещё отношение-

“ отношение делимости “. Рассмотрим его.

Опр. 7

Элемент называется делящимся на элемент в кольце К, если существует

такое

, что а=вс. а –называется делимое, в –делитель, с–частное. И обозначается “ M ,,

Отношение делимости позволит ввести ещё одно отношение – ассоциативности элементов - “ ~ ,, а ~в

аM в / вM а.

Элемент

называется обратимым в К если для него существует такое, что

ав=1. Элементы а и в называют так же делителями единицы.

Отношение делимости обладает рядом свойств, оно является нестрогим числовым порядком, т.е.

1⁰ “ M ,, - рефлексивно : а

0, аM а.

2⁰ “ M ,, - антисимметрично : аM в, вM а Þ а = в.

3⁰ “ M ,, - транзитивно : аM в, вM с, то аM с.

4⁰а,вM с Þ а+вM с, авM с.

5⁰а₁,а₂, .... ,а_n ,

a_IM c Þ а₁,а₂, ... ,а_n M с. и ряд других свойств.

Отношение “ ~ “ является отношением эквивалентности.

1⁰

M а Þ а ~ а.

2⁰ а ~в Þ аM в, вM аÞ в ~а.

3⁰а ~в, в~с Þ аM в, вM с Þ аM с _Þ c~a Þ a ~c

вM a, сM в Þ сM в ,в M а Þ сM а

Вопрос 7 Гомоморфизм колец

В вопросе ставиться проблема взаимосвязи алгебр на примере колец, которые описываются гомоморфизмом. Предлогаеться решить проблему взаимосвязи кольца, фактор-кольца с другим кольцом, которая задаётся теоремой об эпиморфизме колец. Предварительно введём ряд понятий. Прежде всего, сформулируем определение алгебры и гомоморфизма алгебры.

Опр.1

Алгеброй называется упорядоченное множество двух множеств <A,U>, где А 0

множество элементов любой природы, а U-множество операций.

Для введения определения кольца необходимо рассмотреть непустое множество и задание операций.

Опр.2

Гомоморфизмом алгебр называется отображение одной из них в другое, сохра -

няющее операции, т.е. если А , В – алгебры , с U, W – множествами опреаций, f – гомоморфизм А в В , то

▲ U, существует ■ W.

Гомоморфизм алгебр допускает классификацию:

Свойства f	Гомоморфизм	Мономорфизм	Эпиморфизм	Изоморфизм
1.Сохранение операций
2.x1 y1Þ f(x1) f(y1)
Все св-ва 1 - 3

Сформулировать определения мономорфизма, эпиморфизма, изоморфизма предоставляется читателю.

Рассмотрим гомоморфизм колец.

Опр.3

Гомоморфизмом кольца <K, +, > в < > называют отображение f:

Сохраняющее операции, т.е. f(а+в)=f(а)Å f(в) ; f(ав)=f(а)Ä f(в).

Опр.4

Ядром гомоморфизма f: называется множество элементов из К, образы

которых равны нулю кольца К, т.е. Ker f =

Теорема 5

Ker f кольца К в является идеалом К

g а,в Î Ker f Þ f(a)=0¢Î K¢, f(в)=0¢ÎK¢ ; кÎK

f(a-в)=f(а+(-в))=f(а)+f(-в)=f(а)-f(в)=0¢- 0¢=0¢Î K Þ а-в Î Ker f

f(ак)=f(а) f(к)=0¢ f(к)=0¢ Î К¢ Þ акÎ Ker f

f(ка)=f(к) f(а)= f(к) 0¢=0¢ Î К¢ Þ каÎ Ker f ,что и доказывает, что Ker f кольцо К в К ¢ является идеалом К

Имея К и идеал его I , можно задать отношение сравнения по идеалу. Известно, что это отношение является эквивалентностью поэтому задано разбиение, а следовательно, фоктор - кольца. Рассмотрим отображение Е : К® К /I, где Е(x)=K_x