Вопросы к гос. экзамену по дисциплине Математика Алгебра (стр. 1 из 11)

Вопросы к Гос.Экзамену по дисциплине “Математика – Алгебра”

Вопрос 3. Определитель квадратной матрицы.

В вопросе рассматривается одна из характеристик матрицы - числовая. Все свойства определителя (числовые характеристики) матрицы рассматриваются для того, чтобы это число стало возможным находить. Введение понятия определителя матрицы позволяет расширить возможности теории решения систем линейных уравнении и другие приложения теории матриц.

Итак, введем определение определителя матрицы и рассмотрим его свойства.

Пусть дана квадратная матрица А=(aij)n n, где аij Î R

Для введения определения матрицы обратимся к некоторым вопросам теории подстановок.

Подстановка t= 1 2 … n называется взаимно-однозначное

t(1) t(2) …t(n)

отображение множества М={1,2,...,n} на себя. Множество всех подстановок обозначается Sn, |Sn|=n!

Подстановки характеризуются своей четностью и нечетностью, которые вводятся через инверсию:

-если у подстановки четное число инверсии, то она четная;

-если-нечетное число инверсий, то она нечетная.

Для обозначения четности подстановки используется символ sgn(t ) -знак подстановки. Зафиксируем ряд необходимых утверждений:1) t = E (единичная)-четная; 2) sgn (t^--1 ) = sgn t ;

3) одна транспозиция меняет четность подстановки.

Опр.1.Определителем квадратной матрицы называется число, равное сумме n! слагаемых, каждое из которых есть произведение n элементов матрицы, взятых ровно по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы со знаком sgn (t )

где t -подстановка из индексов элементов произведения ,т.е.

|A|=åsgn(t)a_{1t (1)} a_{2t (2)} …a_{nt (n) ,} A=(a_ij)_n*n[СС1]

приняты также обозначения для определителя: def A, Δ.

Теорема 2. Определитель матрицы обладает рядом свойств, среди которых следующие:

1°. |A|=|A^t|,где А^t -трансионированная;

2°. Определитель матрицы с нулевой строкой равен нулю;

3°. Определитель матрицы с двумя пропорциональными строками равен нулю.

4°. Определитель матрицы с двумя равными строками равен нулю.

5°. Перестановка двух строк(столбцов) матрицы изменяет знак определителя.

6°. Если к одной строке матрицы прибавить другую,уменьшенную на число, не изменяет ее

определитель.

7°. Если i-строка (столбец) матрицы имеет вид i(a₁+...a_k b1+...b_k c₁+....c_k),то определитель такой матрицы равен сумме K-определителей,каждый из которых в i-строке имеет соответственно ее слагаемые, а остальные элементы совпадают с элементами матрицы.

8°. Если строку (столбец) матрицы умножить на число x, то определитель матрицы умножится на это число.

и другие.

Для решения проблемы вычисления определителя матрицы вводятся понятия минора элемента a_ij (M_ij) и его алгебраического дополнения (A_ij) .

Минором M_ij элемента a_ij матрицы называется определитель матрицы,

полученный вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента a_ij называется число (-1)^i+j М_ij

Имеет место теорема о разложении по элементам строки (столбца).

Теорема 3 . |A|= a_1jA_1j +a_2jA_2j +....+a_njA_nj или

|A|=a_i1A_i1 +a_i2A_i2 +...+a_in A_in .

Доказательство разобьем на три случая:

Cлучай 1. a₁₁…a_1n

|A|= a₂₁…a_2n = a_nn M_nn

………

0……a_nn

Воспользуемся для доказательства определением определителя

|A|=åsgn(t)a_{1t (1)} a_{2 t (2)}…a _{n-1,t (n-1)} a _{nt (n)}

Так как в n-ой строке все элементы кроме a_nn нули, то все слагаемые в определителе кроме a_nn равны нулю. Тогда определитель такой матрицы равен:

sgn(t) a_{1t (1)} a _{2 t (2)}....a _{n-1,t (n-1)} a _{n n} =a _{n n} ( sgn(t’) a _1t(1) a _{2 t(2)} ...a _n-1,t(n-1)),где

t = 1 2 ... n-1 n t’ = 1 2 ... n-1

t ₍₁₎ t ₍₂₎ ... t_(n-1) t_(n) , t₍₁₎ t₍₂₎ ... t_(n) , т.к

t = 1 2 ... n-1 n = 1 2 .... n

t₍₁₎ t₍₂₎ ... t_(n-1) t_(n[D2] ₎ t₍₁₎ t₍₂₎ ... t_(n) ,то sgn (t) =sgn(t’).

Мы видим, что в скобках определитель порядка (n-1),полученного вычеркиванием n-ой строки и n-ого столбца. Поэтому

|A|=a_nnM_nn, что и требовалось доказать.

Случай 2.

a ₁₁ ... a _1j .. a _1n

|A|= ................................. = a _ij A _ij

0 ... a _ij ... 0

..................................

a _n1 ... a _nj ... a _nn

Для доказательства воспользуемся свойством перестановки строк и столбцов матрицы, получим:

A_{11 ...} a_1j ... a_1n a₁₁ .. a_1j ..a_1n a₁₁ .. a_1n .. a_1j

A = ....................... = ^n-i .................... = ^{n-i n-j} .................... =

0 .. a_ij ... 0 a_n1 .. a_nj ..a_nn a_n1 .. a_nn ..a_nj

a_{n1 ..} a_nj ... a_nn 0 .. a_ij .. 0 0 .. 0 .. a_ij

=

2n-

M_ij*a_ij= ^i+ja_ijM_ij=a_ijA_ij

Случай 3. |A|=a_1iA_1i +a_2iA_2i +....+a_niA_ni.

A_{11 ..} a_1j .. a_nn ... a_1j+0+..+0 ... .. a_1j .. .. 0 .. ... 0

A₂₁ .. a_2j .. a_2n ... 0 +a_2j+..+0 .. .. 0 .. .. a_2j .. ... 0

A = ..................... = ......................... = ......... + .......... +..+ ....... =

a_n1 .. a_nj .. a_nn ... 0+0+..+a_nj ... .. 0 .. .. 0 .. ...a_nj

= a_1jA_1j+a_2jA_2j+..+a_njA_nj

Рассмотренная теорема позволяет вычислить определитель матрицы любого порядка .Теория определителей имеет приложительное значение, то есть используется в качестве средства для решения вопрос в математике. В частности, она лежит в основе решения систем линейных уравнений как одного из способов. Возможность использования теории определителей для решения систем зафиксированы теоремой Крамера.

Теорема 4. (Крамера). Если |A| не равен нулю, то система åa_ijx_j=b_i, где i=1,n; j=1,n имеет единственное решение, которое находится по формуле: