Определитель матрицы 2 (стр. 1 из 2)
Оглавление
Задача 1
Вычислить определитель 4-го порядка.
Решение:
Определитель 4-го порядка находится по формуле:
,где
aij– элемент матрицы;
Мij – минора элемента aij. Минора элемента aijматрицы А называется определитель матрицы, которая была получена путем удаления из матрицы А строк и столбцов, которые содержат элемент aij
Задача 2
Решить систему матричным способом.
Решение:
1. Введем обозначения:
Тогда в матричной форме система имеет вид
, т.е. 
А-1-обратная матрица, которая существует только тогда, когда исходная матрица А невырожденная, т.е.
2. Найдем определитель матрицы по формуле:
Так как
, то матрица А – невырожденная и обратная матрица А-1 существует и единственная.3. Найдем обратную матрицу по формуле:
, где 
- присоеденненая матрица, элементы которой 
равны алгебраическим дополнениям элементов матрицы 
, и затем транспонированная.a. найдем алгебраического дополнения всех элементов матрицы:
Получается матрица
b. транспонируем матрицу (т.е. матрица AT, полученная из исходной матрицы заменой строк на столбцы)
c. обратная матрица равна:
4. Находим значение переменных х1,х2,х3:
Х1=-27, Х2=36, Х3=-9
Задача 3
Решить систему методом Крамера
Решение:
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно)
1. Данную систему представим в виде матрицы:
2. Найдем определители:
, 
(
, т.е. можно применить метод Крамера) 
; 
.3. Найдем значение x, y:
, 
, 
Задача 4
Найти общее решение системы, используя метод Жордана-Гаусса:
Решение:
Данную систему представим в виде матрицы:
Шаг 1.
В качестве разрешающего элемента удобнее взять элемент а11=1 (т.к. при делении на «1» число остается без изменения). Делим элементы строки на разрешающий элемент а11. Разрешающие переменную х1 следует исключить из остальных уравнений, поэтому в новой матрице
в первом столбце во всех строках (кроме 1 строки) необходимо поставить значение «0». Другие элементы новой матрицы находим по правилу прямоугольника:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
Шаг 2.
В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой, например а22=5. Делим элементы разрешающей второй строки на «5». Все элементы первого столбца, кроме а11 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника:
; 
; 
; 
; 
; 
Шаг 3.
В полученной матрице в качестве разрешающего элемента берем не равный нулю элемент из любой строки, кроме первой и второй, например а33=1. Делим элементы разрешающей второй строки на «1». Все элементы первого и второго столбца, кроме а11=1 и а22=1 берем равные «0», а остальные элементы находим по правилу прямоугольника: