Смекни!
smekni.com

Лекции по Математике 3 (стр. 2 из 7)

неявно задающее решение уравнения (3), называется общим интегралом.

Определение 11. Уравнение

(6),

где

- конкретное значение параметра
, называется частным интегралом.

Определение 12. Решение

уравнения (3) называется особым, если в каждой его точке

нарушается единственность, то есть через каждую его точку

кроме данного решения проходит и другое решение уравнения (3), не совпадающее с
в сколь угодно малой окрестности точки
.

1.3 Уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если его общее реше-

ние(общий интеграл) может быть получено(получен) в результате конечной последовательнос-

ти элементарных действий над известными функциями и интегрирования этих функций.

Таких уравнений сравнительно немного, рассмотрим некоторые виды дифференциальных урав-

нений, интегрируемых в квадратурах.

I. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными; уравнения, приводящиеся

к уравнениям с разделяющимися переменными.

Уравнение вида

(7)

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

- известные непрерывные функции.

(8)

Это общий интеграл данного дифференциального уравнения (7).

Уравнение вида

(9)

в котором коэффициенты при дифференциалах являются произведениями функций, завися-

щих только от какой-то одной переменной, называется уравнением с разделяющимися пере-

менными.

Разделим левую и правую части уравнения (9) на произведение

, получим урав-

нение с разделенными переменными:

, тогда общий интеграл уравнения (9) имеет в

(10)

Деление на

может привести к потере решений, которые обращают в ноль данное

произведение, поэтому надо делать проверку.

Пример 5. Найти общее решение уравнения

.

Решение.

, делим левую и правую части на
, получаем

или
, тогда

, пропотенцируем данное равенство, получим

- это общий интеграл исходного уравнения.

Уравнение вида

(11),

где

- известная непрерывная функция;
- константы, называется приводящимся к

уравнению с разделяющимися переменными.

Чтобы привести данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными, надо сделать

следующую замену:

(12),

тогда

, а
, подставляем в уравнение (11), получаем

или
, данное уравнение является уравнением с разделяющимися

переменными, разделим переменные:

или
, тогда его общий интеграл имеет вид:
или
.

Затем заменяем

на
и получаем общий интеграл для уравнения (11).

Пример 6. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Сделаем замену

, тогда
или
, подставляем в исходное

уравнение, получаем

или
,
, разделяем переменные:

, тогда
, следовательно,

, возвращаемся к переменной
:

или
- это общее решение исходного уравнения.

Лекция 2.

II. Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.

Определение 13. Функция

называется однородной функцией
-ой степени однород-

ности, если при любых допустимых значениях

справедливо равенство

(13)

Пример 7. Рассмотрим функцию

. Данная функция является однородной

степени однородности 2, так как

.

Пример 8. Функция

однородная степени однородности 0, так как

.

Определение 14. Уравнение

(14)

называется однородным, если функции

являются однородными одинаковой

степени однородности.

Однородное уравнение еще может записываться следующим образом

(15)

Решаются однородные дифференциальные уравнения с помощью замены:

, тогда
,
(для уравнения (14)),
( для уравнения

(15)). После замены уравнение станет уравнением с разделяющимися переменными

и
.

Пример 9. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. Уравнение можно записать следующим образом

. Сделаем соответствую-щую замену и подставим в уравнение, получим:

или
, разделяем переменные, тогда
; интегрируем

, получаем
или
.