Лекции по Математике 3 (стр. 4 из 7)
(3):
, тогда 
, данная функция удовлетворяет условиямтеоремы 1, а именно, она непрерывна и по переменной
и по переменной 
в силу условий теоремы и свойств непрерывных функций; частная производная функции по : 
,так как частная производная непрерывна отрезке, то она ограничена на данном отрезке.
Следовательно, по теореме 1 уравнение (22) имеет единственное решение, удовлетворяющее
указанным начальным условиям.
Метод вариации произвольной постоянной.
Рассмотрим метод решения линейного неоднородного уравнения, который называется методом
вариации произвольной постоянной.
1. Сначала решаем линейное однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному
Оно одновременно является и уравнением с разделяющимися переменными, разделим перемен-
ные и проинтегрируем равенство:
, пропотенцируем данноеравенство, получим
- это общее решение линейного однородного уравнения.2. Теперь будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения в виде:
, где 
- неизвестная функция. Тогда 
Подставляем функцию и ее производную в уравнение (22), получаем
или 
.Теперь разделяем переменные и интегрируем:
Следовательно, общее решение уравнения (22) имеет вид:
.Пример 12. Найти общее решение уравнения
.Решение. Линейное однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному
. Разделяем переменные и интегрируем: 
,потенцируем полученное равенство, получаем
.Будем искать общее решение неоднородного уравнения в виде:
. Тогда 
. Подставляем все в исходное уравнение, получаем: 
. Разделяем переменные и интегрируем 
. Подставляем найденнуюфункцию, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения
.Определение 17. Уравнение вида
(23),где
называется уравнением Бернулли.Сначала разделим левую и правую части уравнения (23) на
, получим 
(24)Теперь сделаем замену:
(25)Тогда
, подставляем в уравнение (24), получаем: 
(26)Уравнение (26) является линейным неоднородным относительно функции
. Решаем его, азатем возвращаемся к переменной
.Замечание. Если
, то уравнение (23) имеет еще решение 
.Пример 13. Найти общее решение уравнения
.Решение. Разделим левую и правую части уравнения на
, получаем: 
.Сделаем замену
, тогда 
или 
, подставляем в уравнение, полу-чаем:
. Это линейное неоднородное уравнение. Сначала решаем линейноеуравнение, соответствующее данному неоднородному, то есть
, оно являетсяуравнением с разделяющимися переменными, поэтому разделяем переменные и интегрируем:
. Потенцируем полученное равенство: 
. Будем искать общее решение линейного неоднородного уравнения в виде: 
, тогда 
. Подставляем в неоднородное уравнение, получаем: 
. Теперь разделяем переменные и интегрируем: 
, тогда 
. Возвращаемся к переменной , следовательно, общее ре-шение исходного уравнения
и еще одно решение, не входящее в этот на-бор
.IV. Уравнения в полных дифференциалах.
Определение 18. Уравнение
(27)называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным диф-
ференциалом некоторой функции
двух независимых переменных.Дифференциал функции двух переменных
, тогда 
- это общийинтеграл уравнения (27).
Теорема 3. Пусть функции
имеют непрерывные частные производные в неко-торой области
плоскости 
. Для того, чтобы уравнение (27) было уравнением в полныхдифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
(28)Доказательство. 1. Необходимость: пусть левая часть уравнения (27) является полным диффе-
ренциалом некоторой функции двух переменных
, тогда 
, следовательно, 
.Первое равенство продифференцируем по
, второе – по , получаем 
. Так как частные производные 
непрерывны (по условию), тосмешанные производные
тоже непрерывны, а значит, в силу свойства смешанныхпроизводных они равны; следовательно, выполняется равенство (28).
2. Достаточность: Пусть выполняется равенство (28); покажем, что существует функция
такая, что 
.