Лекции по Математике 3 (стр. 5 из 7)

Так как в этом случае

, проинтегрировав это равенство по , получим

. Продифференцируем полученное равенство по , учитываем, что

и получаем . Найдем функцию .

(29)

Левая часть этого равенства не зависит от

, убедимся, что и правая часть тоже не зависит

от

, для этого продифференцируем правую часть по , получаем .

Интегрируем (29) по

, получаем

, следовательно,

.

Получили искомую функцию.

Пример 14. Найти общий интеграл уравнения

.

Решение. В данном уравнении

. Проверим выполнение

равенства (28):

, то есть равенство (28) выполняется, следовательно,

данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, левая часть уравнения –

полный дифференциал некоторой функции двух переменных

. Тогда ,

проинтегрируем это равенство по

, получаем: .

Найдем

, получаем . Так как , то имеет место

следующее равенство:

, отсюда , тогда .

Значит общий интеграл исходного уравнения имеет вид:

.

Теперь все рассмотренные уравнения 1-ого порядка и методы их решения сведем в таблицу.

Таблица 1.

Тип уравнения 1-ого порядка	Метод решения
1. Уравнение с разделенными переменными	1. - общий интеграл
2. Уравнение с разделяющимися перемен-ными	2. -общий интегралПроверка функций, удовлетворяющихравенству
3. Уравнение, приводящееся к уравнению с разделяющимися переменными	3. Замена ,
4. Однородное уравнение ,где - однородные функции оди-наковой степени однородностиили	4. Замена , или
5. Уравнение, приводящееся к однородном или	5. а) , замена ,где - решение системы б) , замена
6. Линейное неоднородное уравнение	6. а) решается линейное однородное уравне-ние : -общее решение;б) общее решение неоднородного уравне-ния ищется в виде

7. Уравнение Бернулли , где	7. Делим на , замена , тогда , получаем линейное неодно-родное уравнение
8. Уравнение в полных дифференциалах , где	8. , функция удовлетворяет уравнению

Лекция 3.

1.4 Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Дифференциальное уравнение

-ого порядка записывается следующим образом

(30),

. Старшая производная 2-ого или более высокого порядка.

Если разрешить данное уравнение относительно старшей производной, получим уравнение

(31)

Чтобы найти частное решение уравнения (31), надо задать

условий:

(32),

где

- числа.

Условия (32) называются начальными условиями.

Задача Коши для уравнения высшего порядка ставится также как и для уравнения 1-ого поряд-

ка: надо найти решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям (32).

Теорема 4. Пусть функция

непрерывна по совокупности своих аргументов в

окрестности точки

и в этой окрестности имеет ограниченные частные

производные

, тогда найдется промежуток оси , на кото-

ром существует и единственно решение уравнения (31), удовлетворяющее условиям (32).