Элементы математической статистики (стр. 1 из 3)

Содержание

Введение

1. Элементы математической статистики

1.1 Оценки параметров распределения

1.2 Наиболее важные распределения, применяемые в математической статистике

1.2.1 Нормальное распределение

1.2.2 Распределение Пирсона (х² распределение)

1.2.3 Распределение Стьюдента

1.2.4 Распределение Фишера

2. Организация эксперимента

2.1 Задачи предварительного эксперимента. Факторное пространство

2.2 Формулирование цели эксперимента и выбор откликов

2.3 Выбор и кодирование факторов

Список литературы

Приложение (таблица критических точек критерия Фишера)

Введение

К важнейшим направлениям научно-технического прогресса относятся автоматизация производства, широкое применение компьютеров и роботов, создание гибких автоматизированных устройств и т.д. Во всех этих направлениях ведущая роль принадлежит электронике.

При создании электронной и электромеханической аппаратуры основные трудозатраты приходятся на ее настройку, снятие характеристик и испытания. При этом нередко используется малоэффективный традиционный метод однофакторного эксперимента, недостаточно внимания уделяется организации и планированию эксперимента и вероятностно-статистическому анализу получаемых данных. Чтобы повысить производительность труда в данной области, специалистам необходимо знать основы математической теории эксперимента и успешно применить ее на практике.

1. Элементы математической статистики

1.1 Оценки параметров распределения

Математическая статистика изучает массовые, случайные явления. Ее основной задачей является изучение распределений случайных величин или ее числовых характеристик (параметров распределения) на основе экспериментальных данных. Среди параметров распределения наиболее часто используются математическое ожидание

, дисперсия и среднее квадратическое отклонение . По результатам эксперимента можно вычислить точечные и интервальные оценки этих параметров.

Точечные оценки определяют приближенные значения неизвестных параметров.

Пусть в результате экспериментов были получены следующие значения выходной переменной

.

Оценкой математического ожидания является выборочная средняя:

Оценка дисперсии определяется формулой:

Для среднего квадратического отклонения получим:

Если среди результатов попадаются одинаковые значения, то есть значения

встретилось раз, то точечные оценки определяются формулами:

,

где

-число различных значений .

Интервальные оценки указывают интервал, в который с заданной вероятностью попадает значение неизвестного параметра.

Для математического ожидания доверительный интервал оценивается следующим образом:

,

где

-значение критерия Стьюдента. , -число степеней свободы, -уровень значимости.

Среднее квадратическое отклонение имеет доверительный интервал:

,

где

- значение критерия Пирсона для уровня значимости , - для уровня значимости , -число степеней свободы.

1.2 Наиболее важные распределения, применяемые в математической статистике

1.2.1 Нормальное распределение

Случайная величина

, распределенная по нормальному закону, описывается плотностью вероятности:

.

Нормальное распределение определяется двумя параметрами – математическим ожиданием

и среднеквадратическим отклонением .

Случайная величина

имеет математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение и называется нормированной нормально распределенной случайной величиной. Ее плотность вероятности:

,

График плотности распределения приведен на рисунке 1.

Функция распределения

табулирована.

Вероятность попадания в интервал

:

Вероятность попадания в интервал [-3;3] длиной

по правилу “3-х сигм” принимается за единицу. Это равносильно предположению, что все значения z заключены в интервал [-3;3].

Рис.1. График функции плотности нормированной нормально распределенной случайной величины

1.2.2 Распределение Пирсона (х² распределение)

Это распределение используется для построения доверительных интервалов, проверки соответствия эмпирического распределения некоторой теоретической зависимости, проверки согласованности мнений экспертов.

Пусть имеется

независимых, нормированных, нормально распределенных случайных величин . Сумма их квадратов образует новую случайную величину .

Число степеней свободы равно числу независимых слагаемых в сумме. Если на слагаемые наложено

связей, то число степеней свободы будет равно .

Распределение

является асимптотически нормальным и зависит только от числа степеней свободы . Значение табулированы.

1.2.3 Распределение Стьюдента

Для построения доверительных интервалов и для проверки статистических гипотез часто используется

-распределение (распределение Стьюдента).

- оценка математического ожидания,

- оценка СКО, рассчитанные по результатам опытов, случайной величины , распределенной по нормальному закону с параметрами .

Распределение Стьюдента определяется числом степеней свободы

, является симметричным, унимодальным и асимптотически нормальным. При оно практически совпадает с нормальным. Таблица распределения имеет два входа – число степеней свободы и уровень значимости . На пересечении находится значение , которое удовлетворяет условию .