1.ЧР наз. сходящимся, если | 3. Интегральный ПК сх.Р: | 5. Признак Коши: | 7. Признаки Абеля и Дирихле для ЧР:Признак Абеля: | 9. Действия над рядами.По определению полагают: |
11. КК РС функ. ряда: | 13. Признаки РС ф. рядов.Признак Абеля: Ряд | 15. Непрерывность и lim пер.Th:{ft; tÎT}, ft: X®C; B-база в T. Если ft сх.равн. к f на X при базе B и функции ft непрерывны в точке x0ÎX, то функция f:X®Cтоже непрерывна в этой точке. | 17. Интегрирование и lim.Th: {ft , tÎT}, ft:[a,b]®C; B-база T; Если функции семейства интегрируемы на [a,b] и ft сх. равн. к f на [a,b] при базе B, то предельная функция f:[a,b]®C тоже интегрируема на отрезке [a,b] и | 19. Характер сх. ст. ряда.Th: Степенной ряд |
21. Дифф. и ò ст. рядов:Th: Если круг KÎC сходимости ст. ряда | 23. Ряд Тейлора.Аналитическая в точке a ф-я f(x) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степенной ряд | 25. Алгебры функций.Совокупность A вещественно (комплексно)-значных функций на множестве X наз. вещественной (комплексной) алгеброй функций на X, если из f,gÎA и aÎR(C) следует, что | 27. Теорема Стоуна:Пусть A – алгебра определенных на компакте K непрерывных вещественнозначных функций. Если A разделяет точки компакта K и не исчезает на K, то A является всюду плотным подмножеством простанства C(K,R). | 29. Теорема Вейерштрасса:Если fÎC([a,b],C), то $ {Pn; nÎN} многочленов Pn:[a,b]®C, что Pnсх. равн. к f на [a,b]. При этом, если fÎC([a,b],R), то и многочлены Pn можно выбрать из C([a.b],R). |
31. Дифф. и непр. собств. ò(пар).Непрерывность: P={(x,y)ÎR2| xÎ[a,b], yÎ[c,d]}. Если функция f :P®R непрерывна, то ф-я | 33. Пр. Вейерш.РС несоб.ò(пар).Пусть f(x,y), g(x,y) интегрируемы по x на любом отрезке [a,b]Ì[a,w] "yÎY.Если "xÎ[a,w], "yÎY | f(x,y)| ≤ g(x,y), а интеграл | 35. lim перех. под. знаком.н.ò.Th: Пустьf(x,y) – сем-во ф., интегрируемых хотя бы в несоб.смысле на xÎ[a,w), и пусть BY-база в Y. | 37. Дифф. н.ò(пар).Th: Еслиа) ф-ции f(x,y), f’y(x,y) непрерывны на {(x,y)ÎR2| xÎ[a,w),yÎ[c,d]},b)интеграл | 39. Интегрирование н.ò(пар):Если f(x,y) непрерывна на {(x,y)ÎR2| xÎ[a,w),yÎ[c,d]} и интеграл |
41. | 43. Ряды Фурье.Если X – Л.П. со скал. пр-ем < , >, а {lk}–ортог. система ненулевых векторов в X, то любому в. x можно сопоставить ряд Фурье: | 45. Гильбертово пр-во.Линейное нормированное пр-во наз. гильбертовым, если оно полно и имеет бесконечную размерность. | 47. Тригонометр. ряд Фурье.Систему экспонент{einx;nÎN} называют триг. сист. в комплексной записи. Она явл. ортогон. с. в-в пр-ва R([-p,p], C) отн. скал. пр-ния в-в.Сопоставляемый ф. f триг.ряд | 49. Лемма Римана.Если локально интегрируемая ф-я f:[w1,w2]®R абсолютно интегрируема (хотя бы в несоб смысле), на промежутке [w1,w2], то |
51. Д.У.сх.ряда Фурье в т.Гов., что f:U0®C, заданная в проколотой окр-ти точки xÎR, удовлетворяет усл. Дини, еслиа) в т. x$ оба односторонних предела | 53.Свойства пр-ва CL2[-∞,+∞] _____________ | 55. Преобразование Фурье. | 57. Пр-е Фурье для ф. мн.пер.f:R®C – лок. инт. на Rn ф-ция. Функция | 59. Теорема обращения.Оператор, определяемый равенством |
10. Сх. и РС семейства f(ПАР) _________________________ | 8. Теорема Римана:Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сделать равной любому числу. | 6. Признак Лейбница:Условно сходищимся наз. ряд an , если ряд an сходится, а ряд |an| -расходится.(n=1,2,…) | 4. Признак Даламбера: | 2. Признак сравнения I: |
20. Теоремы Абеля.Первая Теорема Абеля: Если степенной ряд | 18. Дифференцирование и lim.Th:{ft , tÎT}–семейство ft: X®C, определенных на выпуклом ограниченном мн-ве X ; B-база T. Если функции семейства дифференцируемы на X, семейство {ft’, tÎT} производных сх. равн. на X к некоторой ф-ции j:X®C, а исходное семейство сх. хотя бы в одной точке x0ÎX, то оно сх. равн. на всем мн-ве X к дифференцируемой функции f:X®C, причем f’=j. | 16. Теорема Дини:Если последовательность непрерывных на компакте функций сходится на нем монотонно и к непрерывной же функции, то эта сходимость равномерная.Следствие: Если члены ряда an(x) (n=1,2,…) суть неотрицательные непрерывные на компакте K функции an: K®R и ряд сходится на K к непрерывной функции. То он сходится на K равномерно. | 14. Условия комм. 2х пр.пер:Th: {Ft;tÎT}, Ft: X®C; BX – база в X,BT– база в T. Если при базе BTcем-во сх. равн. на X к F:X®C, а "t$ | 12. Признак Вейерштрасса РС функционального ряда:u1(x)+…+un(x)+… сходится абсолютно и равномерно на множестве X, если существует сходящийся числовой ряд c1+c2+…+cn+…такой, что |
30. Собственные ò, их интег-е.Интеграл, зависящий от параметра, – это ф-я вида | 28. Компл. вар. теоремы Стоуна:Если комплексная алгебра A функций f:X®C не вырождается на X и разделяет точки X, то при условии самосопряженности алгебры A можно утверждать, что она плотна в C(X,C). | 26. Банахова Алгебра в С(K).Нормированная алгебра называется Банаховой, если она является нормированным линейным пространством, полным относительно метрики, порожденной нормой (B-пространством).Подмн-во пространства C(K,Y) наз. всюду плотным, если функциями, составляющими это мн-во, можно со сколь угодно малой абсолютной погрешностью аппроксимировать любую непрерывную функцию f:K®Y. | 24. Формула Стирлинга. Или | 22. Аналит. ф. в действ. обл. |
40. Эйлеровы интегралы. | 38. Интеграл Дирихле. | 36. Непрерывность н.ò(пар):Если а) ф-я f(x,y) непрерывна на {(x,y)ÎR2| xÎ[a,w),yÎ[c,d]}, b) интеграл | 34. Пр. Абеля-Дирихле РС.н.ò.Th: Пусть f(x,y), g(x,y)"yÎY интегрируемы по x на любом отрезке [a,b]Ì[a,w]. Для равн.сх. интеграла | 32. Несоб.ò(пар), КК РС.Говорят, что несобственный интеграл |
50. Ядра Дирихле. | 48. Ряды Фурье д/чет./неч. ф.а) Если ф-я f(x) четная, то | 46. Предгильбертово пр-во.Линейное нормированное пр-во бесконечной размерности наз. предгильбертовым, если оно не полно по отношению к метрике, индуцированной естественной нормой в нем. | 44. Ортонорм. сист.в-в.Система в-в наз. {ek; kÎK}ортонормированной, если "i,jÎK < ei,ej >=di,j, где di,j – символ Кронекера | 42. Интеграл Пуассона |
60. Теорема Планшереля. | 58. Пространство S(Rn).S(Rn,C) – сов-ть всех ф-ций fÎC(∞)(Rn,C), удовлетворяющих условию | 56. Пр-е Фурье свертки. | 54. Теорема Фейера.f : R®C – 2p-периодическая абс. инт-мая на [-p,p] ф-я. Тогдаa) если на EÌRfравномерно непрерывна, то __________________________________________ | 52. ДУ РС триг. ряда Фурье.Th: Если f:[-p,p]®C такова, что а) fÎC(m-1)[-p,p], mÎN; b) f(j)(-p)=f(j)(p), j=0,1,…m–1; c) f имеет на [-p,p] непрерывную производную f(m) порядка m>=1,то ряд Фурье ф-й f сх. к f абсолютно и равномерно на отрезке [-p,p], причем отклонение n-й частичной суммы Sn(x) ряда Фурье от f(x) на всем отрезке [-p,p] имеет оценку |