Некоторые приложения финансовой математики (стр. 1 из 2)
Некоторые приложения финансовой математики.
Конверсия валюты и начисление процентов.
Рассмотрим совмещение конверсии (обмена) валюты и наращения простых процентов, сравним результаты от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты или после предварительного обмена на другую валюту. При этом возможны 4 варианта наращения процентов:
- Без конверсии, когда валютные средства размещаются в качестве валютного депозита, наращение первоначальной суммы производится по валютной ставке путём прямого применения формулы простых процентов.
- С конверсией, при это валютные средства конвертируются в тенге, наращение идёт по ставке в тенге, в конце операции сумма в тенге конвертируется обратно в исходную валюту.
- Без конверсии, в этом случае сумма в тенге размещается в виде депозита в тенге, на который начисляются проценты по ставке в тенге по формуле простых процентов.
- С конверсией, когда сумма в тенге конвертируется в какую – либо конкретную валюту и инвестируется в валютный депозит. Проценты начисляются по валютной ставке. Наращенная сумма в конце операции вновь конвертируется в тенге.
Операции без конверсии не представляют сложности. В операции наращения с двойной конверсией имеются два источника дохода: начисление процента и изменение обменного курса. Причём начисление процента является безусловным источником (ставка фиксирована, инфляцию не рассматриваем). Изменение обменного курса может, как быть источником дополнительного дохода, так и приводить к потерям. Остановимся на двух вариантах, предусматривающих двойную конверсию (варианты 2 и 4).
Введём обозначения:
Pv - сумма депозита в валюте,
Pr - сумма депозита в тенге,
Sv – наращенная сумма в валюте,
Sr – наращенная сумма в тенге,
K0 – курс обмена в начале операции,
K1 – курс обмена в конце операции,
n – срок депозита,
i – ставка наращения для тенговых сумм(в виде десятичной дроби),
j - ставка наращения для конкретной валюты.
Рассмотрим варианты:
ВАЛЮТА –> ТЕНГЕ –> ТЕНГЕ –> ВАЛЮТА.
Операция состоит из трёх этапов: обмена валюты на тенге, наращение суммы в тенге, обратное конвертирование суммы в тенге в исходную валюту. Наращенная сумма, получаемая в конце операции в валюте, составит
Sv=PvK0(1+ni)/K1
Как видим, три этапа операции нашли своё отражение в этой формуле в виде трёх сомножителей.
Множитель наращения с учётом двойного конвертирования
Где k=K1/K0 – темп роста обменного курса за срок операции. Из данной формулы следует, что множитель наращения m связан линейной зависимостью со ставкой i и обратной – с обменным курсом в конце операции K1 (или с темпом роста обменного курса k).
Исследуем зависимость общей доходности операции с двойной конверсией от соотношения конечного и начального курсов обмена k.
Простая годовая ставка процентов, характеризующая доходность операции,
Подставляя в эту формулу выражение для Sv, получаем:
Из этой формулы следует, что с увеличением k доходность iэ падает. При k=1 доходность операции равна ставке в тенге, т.е. iэ=i. Величина iэ < i при k > 1 и iэ > iпри k < 1. При некотором критическом значении k, которое обозначим как k*, доходность операции равна нулю. Из равенства iэ=0 находим:
k*=1+ni,
что означает
K*1=K0(1+ni).
Таким образом, если ожидаемые величины k и K*1 превышают свои критические значения, то операция убыточна (iэ < 0).
Определим максимально допустимое значение курса обмена в конце операции K1, при котором эффективность будет равна существующей ставке по депозитам в валюте, и применение двойного конвертирования не даёт никакой дополнительной выгоды. Для этого приравняем множители наращения для двух альтернативных операций
1+nj=(1+ni)K0/K1
Из полученного равенства следует, что
max K1=K0(1+ni)/(1+nj)
или
max k=K1/K0=(1+ni)/(1+nj).
Таким образом, депозит валюты через конверсию в тенге выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце операции ожидается меньше max K1.
Рассмотрим вариант:
ТЕНГЕ –> ВАЛЮТА –> ВАЛЮТА –> ТЕНГЕ.
Это операция с двойной конверсией, когда исходная и конечная суммы в тенге. В этом случае трём этапам операции соответствуют три сомножителя для наращенной суммы:
Проведем анализ эффективности этой операции и определим критические точки.
Доходность операции в целом определяется по формуле
Отсюда, подставив выражение для Sr, получим
Зависимость показателя эффективности iэ от k линейная, iэ=j при k=1, iэ>j при k>1, iэ<j при k<1.
Найдём критическое значение k*, при которых iэ=0:
k*=1/(1+nj) или K*1=K0/(1+nj).
Таким образом, если ожидаемые величины k или K1 меньше своих критических значений, то операция убыточна (iэ<0).
Минимально допустимая величина k (темпа роста валютного курса за весь срок операции), обеспечивающая такую же доходность, что и прямой вклад в тенге, определяется путём приравнивания множителей наращения для альтернативных операций (или из равенства iэ=i):
K1(1+nj)/K0=1+ni,
откуда
min k=(1+ni)/(1+nj)
или
minK1=K0(1+ni)/(1+nj).
Таким образом, депозит сумм в тенге через конвертацию в валюту выгоднее депозита в тенге, если обменный курс в конце операции ожидается больше min K1.
Рассмотрим вариант совмещения конверсии валюты и наращения сложных процентов:
ВАЛЮТА –> ТЕНГЕ –> ТЕНГЕ –> ВАЛЮТА.
Три этапа операции запишем в одной формуле для наращенной суммы:
Sv=PvK0(1+i)n/K1,
где i – ставка сложных процентов.
Множитель наращения
m=(1+i)nK0/K1=(1+i)n/k,
где k=K1/K0 – темп роста валютного курса за период операции.
Определим доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов iэ. Из формулы наращения по сложным процентам
S=P(1+i)n
находим:
Подставив в эту формулу значение Sv, получим
Из этого выражения следует, что с увеличением темпа роста k эффективность iэ падает.
Анализ показывает, что при k=1 iэ=i, при k>1 iэ<i, а при k<1 iэ>i.критическое значение k, при котором эффективность операции равна нулю, определяется как
k*=(1+i)n,
что означает равенство среднегодового темпа роста курса валюты годовому темпу наращения по ставке в тенге.
Таким образом, если ожидаемые величины k или K1 больше своих критических значений, то рассматриваемая операция с двойной конверсией убыточна (iэ<0).
Максимально допустимое значение k, при котором доходность операции будет равна доходности при прямом инвестировании валютных средств по ставке j, находится из равенства соответствующих множителей наращения:
(1+j)n=(1+i)n/kmax,
откуда
kmax=(1+i)n/(1+j)n, max K1=K0(1+i)n/(1+j)n.
Таким образом, депозит валюты через конвертацию в тенге выгоднее валютного депозита, если обменный курс в конце опреации ожидается меньше max K1.
Пример.
Имеется сумма в евро, которую предполагается разместить на полугодовой депозит. Обменный курс в начале операции 193 тенге за евро, в конце операции предполагается 197 тенге. Годовая ставка простых процентов по депозитам в тенге 17%, по валютным – 5%.
Определить, как выгоднее разместить вклад: валютный или через конверсию в тенге.
Решение.
При двойной конверсии: евро тенге тенге евро расчёт производим по формуле
с учётом того, что K0=193, K1=197:k=K1/K0=197/193=1,02,
iэ=[(1+0,5.0,17)/1,02.0,5]-1/0,5=0,13.
По условию задачи, доходность валютного депозита 5%, доходность операции с двойной конверсией 13%. Следовательно, выгоднее разместить вклад в тенге.
Пример .
Имеется сумма в евро, которую предполагается разместить на полугодовой депозит. Обменный курс в начале операции 193 тенге за евро, в конце операции предполагается 197 тенге. Годовая ставка простых процентов по депозитам в тенге 17%, по валютным – 5%.
Определить вид наиболее выгодного размещения вклада.
Решение.
Темп роста обменного курса за срок операции
k=K1/K0=197/193=1,02.
По формуле
имеем:iэфф=[1,02.(1+0,5.0,05)-1]/0,5=0,091
Выгоднее разместить депозит в тенге.
Погашение задолженности частями.
Контур финансовой операции – это графическое изображение процесса погашения краткосрочной задолженности частичными (промежуточными) платежами.