Модель управления конфликтными потоками в классе алгоритмов (стр. 5 из 5)

Уточним теперь структуру цепи Маркова

. Обозначим через . Сформулируем и докажем два вспомогательных утверждения, касающихся общей структуры цепи и асимптотического поведения распределения рассматриваемой цепи Маркова при .

Лемма 1. Пространство

состояний цепи Маркова

распадается на незамкнутое множество

несущественных состояний и минимально замкнутое множество

существенных сообщающихся непериодических состояний.

Доказательство. Из того, что

и для всех , следует что случайный процесс за некоторое конечное число шагов из произвольного состояния с положительной вероятностью по цепочке попадёт в состояние . Следовательно состояние является существенным. Согласно теореме 3.5 из /7/ совокупность состояний цепи, сообщающихся с также является существенным. Используя полученные нами рекурентные соотношения (12)-(18) и приведённые выше замечания нетрудно видеть, что множество

Покажем, что

не содержит других состояний, кроме отмеченных. Возьмём, к примеру, состояние где . Тогда по цепочке переходов цепь Маркова

перейдёт из существенного состояния в состояние . Следовательно, состояние является существенным и сообщающимся с . Указанный переход возможен с положительной вероятностью, поскольку и . Аналогично доказывается, что возможен переход из или в любое другое состояние, не принадлежащие множеству . Значит . Поскольку состояние достижимо из любого состояния , то множество не является замкнутым, а содержит единственное замкнутое минимальное . Из очевидного неравенства

следует, что все состояния из будут непериодическими (/8/ стр. 408). Лемма доказана.

Лемма 2. При любом начальном распределении

векторной цепи Маркова

либо для всех

:

и в системе не существует стационарного распределения, либо существуют пределы:

такие, что

, и всистеме существует стационарное распределение.

Доказательство. Из структуры множества

и из того, что следует, что векторный случайный процесс

из произвольного состояния

с положительной вероятностью, не меньшей, чем , за один шаг может достигнуть множества . Обозначим через вероятность того, что рассматриваемая цепь Маркова исходя из произвольного несущественного состояния

когда-либо достигнет некоторого существенного состояния из . Известно, что величины

, являются решениями системы уравнений вида (8.6), приведённой в /8/ на стр. 392. Тогда, в силу неравенства и леммы 1, эта система является вполне регулярной и имеет ограниченное решение ,

. В этом можно убедиться непосредсвенной подстановкой. По теореме 11 из /9/ это решение будет единственным. Отсюда на основании эргодической теоремы в главе 15 из /8/ получим утверждение доказываемой леммы.

Итак, ассимптотическое поведение одномерного распределения

случайного векторного процесса

при

не зависит от начального распределения

.

Заключение.

В конце этой (весьма краткой) работы хочется подвести итог того, что нами было уже сделано:

- Была дана общая характеристика случайной среды, системы управления, приведена её функциональная схема;

- На содержательном уровне дано определение конфликтности и потоков насыщения системы;

- Приведено математическое описание составляющих элементов системы и построен маркированный случайный точечный процесс, моделирующий динамическое поведение системы;

- Была доказана теорема марковости выделенной дискретной компоненты процесса

.

- Выведены рекуррентные формулы для одномерных распределений дискретной компоненты маркированного точечного процесса

.

Литература.

1. Куделин А.Н. Модель управления конфликтными потоками в случайной среде: “Теория вероятностей и математическая статистика. Диссертация на соискание уч. степени кандидата ф.-м.н”.

2. Бронштейн О.И. Рыков В.В., Об оптимальных дисциплинах обслуживания в управляемых системах // В сборн. "Управление производством", Тр. III Всесоюзн. совещ. по автоматическому управлению. Техническая кибернетика.- 1965.- М.: "Наука", 1967.

3. Рыков В.В. Управляемые системы массового обслуживания // Сборн. "Итоги науки. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая кибернетика. ВИНИТИ АН СССР".

4. Файнберг М.А., Файнберг Е.А. Управление в системах массового обслуживания // "Зарубежная радиоэлектроника".

5. Федоткин М.А. Теория дискретных систем с переменной структурой обслуживания квазигенерирующих потоков : "Теория вероятностей и математическая статистика. Диссертация на соискание уч. степени доктора ф.-м.н.".

6. Федоткин М.А. Неполное описание потоков неоднородных требований. -"Теория массов. обслуж."

7. Чжун К.Л. Однородные цепи Маркова. –М.: Мир, 1964.

8. Феллер В. введение в теорию вероятностей и её приложения. Т.1, - М.: Мир, 1967.

9. Кантарович Л.В., Крылов В.И. Приблежённые методы высшего анализа. – М. –Л.: 'ГИФМЛ', 1962.