Сфера S8319 (стр. 2 из 3)
Определение 3. Множество
называется замкнутым в 
, если его дополнение 
в является множеством, открытым в .Пример 5. Множество
, т. е. совокупность точек, удалённых от фиксированной точки 
не больше чем на 
, является замкнутым, что следует из определения 3 и примера 4. Множество 
называют замкнутым шаром с центром 
радиуса . 
.Сфера – множество
точек 
евклидова пространства 
, находящихся от некоторой точки 
(центр сферы) на постоянном расстоянии 
(радиус сферы), т. е. 
.Сфера
– пара точек, сфера 
– это окружность, сферу при 
иногда называют гиперсферой. Объём сферы (длина при 
, поверхность при 
) вычисляется по формуле 
,в частности,
, 
, 
, 
.Уравнение сферы
в декартовых прямоугольных координатах в имеет вид 
(здесь
, 
, 
, – координаты 
, соответственно), т. е. Сфера – (гипер)квадрика, или поверхность второго порядка специального вида.Положение какой-либо точки в пространстве относительно сферы характеризуется степенью точки. Совокупность всех сфер, относительно которых данная точка имеет одинаковую степень, составляет сеть сферы. Совокупность всех сфер, относительно которых точки некоторой прямой (радикальной оси) имеют одинаковую степень (различную для различных точек), составляет пучок сферы.
С точки зрения дифференциальной геометрии, сфера
– риманово пространство, имеющее постоянную (гауссову при и риманову при ) кривизну 
. Все геодезические линии сферы замкнуты и имеют постоянную длину 
– это так называемые большие окружности, т. е. пересечения с двумерных плоскостей в 
, проходящих через её центр. Внешнегеометрические свойства : все нормали пересекаются в одной точке, кривизна любого нормального сечения одна и та же и не зависит от точки, в которой оно рассматривается, в частности имеет постоянную среднюю кривизну, причём полная средняя кривизна сферы – наименьшая среди выпуклых поверхностей одинаковой площади, все точки сферы омбилические.Некоторые из таких свойств, принятые за основные, послужили отправной точкой для обобщения понятия сферы. Так, например, аффинная сфера определяется тем, что все её (аффинные) нормали пересекаются в одной точке; псевдосфера – поверхность в
постоянной гауссовой кривизны (но уже отрицательной); одна из интерпретаций орисферы (предельной сферы) – множество точек внутри 
, определяемое уравнением также второго порядка 
.На сферу
дважды транзитивно действует ортогональная группа 
пространства (2 – транзитивность означает, что для любых двух пар точек, с равными расстояниями, существует вращение – элемент , переводящая одну пару в другую); наконец, сфера есть однородное пространство: 
.С точки зрения (дифференциальной) топологии, сфера
– замкнутое дифференцируемое многообразие, разделяющее на две области и являющееся их общей границей; при этом ограниченная область, гомеоморфная – это (открытый) шар, так, что сферу можно определить как его границу.Группы гомологий сферы
, 
: 
в частности
не стягивается в точку сама по себе, т. е. тождественное отображение в себя существенно.Группы гомотетий сферы
, : 
Например,
, 
при . В общем случае – для любых 
и 
, 
, группы 
не вычислены.И здесь понятие сфера получает обобщение. Например, дикая сфера – топологическая сфера в
, не ограничивающая области, гомеоморфной ; Милнора сфера (экзотическая сфера) – многообразие, гомеоморфное, но не диффеоморфное .Топологическое пространство, гомеоморфное сфере, называется топологической сферой. Одним из основных здесь является вопрос об условиях того, что некоторое пространство является топологической сферой.