Рис. 2.4
Приклад 2.3. Знайти особливий розв’язок диференціального рівняння
,
.
Отримали загальний розв’язок в області , в якій виконуються умови теореми Пікара. Але розв’язком буде , який ми отримуємо при . Він не міститься в загальному розв’язку при жодному фіксованому С. Отже, згідно означення - особливий розв’язок.
Якщо неперервна на D, то умови підозрілі на особливий розв’язок : необмеженість похідної . Знайшовши таку криву в подальшому треба переконатися :
1) вона являється інтегральною кривою;
2) перевірити, що в кожній її точці порушується єдиність розв’язку.
В прикладі 2.2. при . Поскільки - розв’язок і через нього проходять інтегральні криві з загального розв’язку, то - особливий розв’язок.
Приклад 2.4. Розглянемо диференціальне рівняння
при . Але не є розв’язком диференціального рівняння, тому і не є особливим розв’язком.
Припустимо, що диференціальне рівняння має однопараметричне сімейство інтегральних кривих . Тоді, якщо це сімейство має обвідну, тобто лінію, яка в кожній точці дотикається сімейства і ні на якому участку не співпадає ні з одною кривою сімейства. Ця обвідна і буде особливим розв’язком. Дійсно через довільну її точку проходить по крайній мірі два розв’язки : обвідна і сам розв’язок.
5. Два означення інтегралу. Теореми про загальний вигляд інтегралу та залежність двох інтегралів одного диференціального рівняння.
Нехай
(2.22)
загальний розв’язок загального диференціального рівняння (2.3) в області D, в якій виконуються умови теореми Пікара. Тоді на D рівняння (2.22) можна розв’язати відносно С
. (2.23)
Функція приймає постійні значення на довільному частинному розв’язку з D, причому значення постійної визначається частинним розв’язком
. (2.24)
Означення 2.12. (перше означення інтегралу) Функція , визначена на D і яка не зводиться до константи, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо на довільному частинному розв’язку з D, ця функція приймає постійні значення.
Припустимо, що - диференційовна функція. Тоді на довільному частинному розв’язку
(2.25)
або
(2.26)
При цьому на D так як в противному . А це означає, що поле диференціального рівняння (2.3) в відповідній точці не задано.
Означення 2.13. (друге означення інтегралу). Функція , визначена і неперервна з частинними похідними в області D і така, що в області D, називається інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D, якщо повний її диференціал, взятий в силу диференціального рівняння (2.3), тотожньо дорівнює нулю в області D.
З (2.26) випливає, що
(2.27)
Функція, яка є інтегралом в смислі означення 2.12 буде інтегралом і в смислі означення 2.13. Навпаки не завжди так.
Якщо диференціальне рівняння (2.3) має один інтеграл, то воно має безліч інтегралів.
Теорема 2.1. (про загальний вигляд інтегралу) Якщо інтеграл диференціального рівняння (2.3) в області D і функція диференційовна в D, а - довільна функція визначена і неперервно-диференційовна в області зміни функції коли , то
(2.28)
є інтегралом диференціального рівняння (2.3) в області D.
Доведення.
,
причому в області D. Маємо
(2.29)
З (2.29) випливає, що - інтеграл диференціального рівняння (2.3) згідно означення.
Теорема 2.2. (про залежність двох інтегралів) Нехай два інтеграли диференціального рівняння (2.3). Тоді існує неперервно диференційовна функція F, що
. (2.30)
Доведення. Поскільки інтеграли, то
(2.31)
З (2.31) випливає, що
. (2.32)
Формально (2.32) можна отримати визначаючи dy з одного рівняння системи (2.31) і підставляючи в друге рівняння. З функціонального аналізу відомо, що з умови (2.32) витікає (2.30).