Интерполяция функций 2 (стр. 2 из 2)

, где a_i,b_i,c_i,d_i – неизвестные.

Из того что S_i(x_i)=y_i получим:

В соответствии с теоретическим положениями изложенными выше, составим систему линейных уравнений, матрица которой будет иметь вид:

При этом мы потребовали равенства производной нулю.

Решая систему уравнений получим вектор решений [b₁,c₁,d₁,b₂,c₂,d₂]:

Подставляя в уравнение значения b₁,c₁,d₁, получим на отрезке [7..9]:

Если выражение упростить то:

Аналогично подставляя в уравнение значения b₂,c₂,d₂, получим на отрезке [9..13]:

или

График имеет вид:

МетодНьютона

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

type tip=array of real;

var x,y:tip;

i,j,n:byte;

p,s,xx,t,h:real;

kp:array of array of real;

begin

n:=edt.Count;

setlength(x,n);

setlength(y,n);

for i:=0 to n-1 do x[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);

for i:=0 to n-1 do y[i]:=edt.massiv[i];edt.Lines.Delete(0);

xx:=strtofloat(edt.Text);

edt.Lines.Delete(0);

setlength(kp,n,n);

for i:=0 to n-1 do for j:=0 to n-1 do kp[i,j]:=0;

for i:=0 to n-1 do kp[0,i]:=y[i];

for i:= 1 to n-1 do

for j:=0 to n-i-1 do

kp[i,j]:=kp[i-1,j+1]-kp[i-1,j];

for i:= 0 to n-1 do

begin

for j:=0 to n-1 do edt.writer(' ',kp[i,j],0);

edt.writer('',1);

end;

edt.writer('',1);

h:=0.5;

t:=(xx-x[0])/h;

s:=y[0];

for i:=1 to n-1 do

begin

p:=1;

for j:=0 to i-1 do p:=p*(t-j)/(j+1);

s:=s+p*kp[i,0];

end;

edt.writer('',s,1);;

end;

Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение функции в точке х=1.25.

xi	1	1.5	2	2.5	3	3.5
yi	0.5	2.2	2	1.8	0.5	2.25

Решение.

Построим таблицу конечных разностей в виде матрицы:

Воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона:

P_n(x)=y₀+tΔy₀+t(t-1)/2! Δ²y₀+...+t(t-1)...(t-n+1)/n!Δⁿy₀

Подставив значения получим многочлен пятой степени, упростив который получим:

P₅(x)=2.2x⁵-24x⁴+101.783x³-20.2x²+211.417x-80.7

Вычислим значение функции в точке x=1.25; P(1.25)=2.0488;

График функции имеет вид:

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.

xi	0	0.25	1.25	2.125	3.25
yi	5.0	4.6	5.7	5.017	4.333

Решение.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа L₄(x), подставив значения из таблицы в формулу:

Напишем программу и вычислим значение многочлена в точке х=1.2:

L₄(1.2)=5.657;

Полученный многочлен имеет четвертую степень. Упростим его и получим:

Построим график полученного полинома: