3.Метод колокацій:
У методі колокацій розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукається у вигляді функції
. (11.36)де
, - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.5): (11.37,а)а функції
, - відповідні однорідні граничні умови, тобто , , . (11.37,б)Через лінійність граничних умов функція
у (11.36) задовольняє граничним умовам (11.24) для будь-яких значень . Наприклад, у точці маємо .Аналогічно для
отримаємоСуть методу колокацій полягає в тому, що для заданих
точок на відрізку , названих вузлами колокації, підбирають значення так, щоб отримана при цьому функція (11.36) задовольняла рівняння (11.4) у кожному з вузлів колокації:де
, .Покладемо
, (11.39)тоді (11.39) матиме стандартний вигляд системи лінійних алгебраїчних рівнянь:
, (11.40)відносно коефіцієнтів
. Якщо розв'язати цю систему і підставити отримані значення коефіцієнтів у вираз (11.36), отримаємо наближений розв'язок .Точність розв'язку крайової задачі методом колокацій залежить від типу базисних функцій
. У конкретних задачах вибір цих функцій слід здійснювати з урахуванням апріорної інформації про розв'язки задачі або на основі емпіричних даних. Нехай - це лінійна функція , (11.41)параметри якої визначимо таким чином, щоб вона задовольняла неоднорідні граничні умови (11.5), тобто з системи рівнянь
Функції
можна задати у вигляді: , . (11.43)Очевидно, що за будь-яких
функція (11.43) задовольняє умову (11.37, а). Значення , за якого буде задовольнятися друга умова (11.37, б), таке: . (11.44)Якщо в умовах (11.37, а, б)
, то можливий інший вибір, а саме: , . (11.45)4.Метод Гальоркіна
Як і в методі колокацій, у методі Гальоркіна наближений розв'язок крайової задачі (11.4), (11.5) шукаємо у вигляді
(11.48)де
, - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції , - відповідні однорідні граничні умови (11.37, 6).Необхідно, щоб система базисних функцій
, була ортогональною на відрізку , тобто при і ,і повною. Остання вимога означає, що не повинно існувати ніякої іншої відмінної від нуля функції, яка ортогональна до всіх функцій
, .Використовуючи наближений розв'язок (11.48) знайдемо нев'язку:
(11.49)Коефіцієнти
мають бути такими, щоб значення інтеграла від квадрата нев'язкибуло найменшим.
Це досягається лише в тому випадку, коли нев'язка
ортогональна до всіх базисних функцій . Умову ортогональності запишемо у вигляді: ,або
Таким чином, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для обчислення коефіцієнтів
5.Метод найменших квадратів
У методі найменших квадратів наближений розв'язок крайової задачі (11.4) і (11.5) задасться у вигляді:
, (11.54)де
, - лінійно незалежні, двічі диференційовані базисні функції, визначені на відрізку . Функція повинна задовольняти задані граничні умови (11.37, а), а функції , - відповідні однорідні граничні умови (11.38, б).Підставимо наближений розв'язок (11.54) у рівняння (11.4) і знайдемо нев'язку:
, (11.55)абсолютна величина якої для
повинна бути якомога меншою. Тому вимагатимемо, щоб виконувалася умова (11.56)