Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (стр. 3 из 8)

Значення інтегралу будуть мінімальними за умов:

… … … …

На основі цих умов формується система лінійних рівнянь для обчислення коефіцієнтів

6.Метод скінченних елементів

Метод Гальоркіна накладає певні обмеження на вибір системи базисних функцій, які залежать від граничних умов крайової задачі. Це обмеження значно ускладнює реалізацію методу, особливо під час розв'язання задач математичної фізики. Це обмеження можна подолати, якщо для апроксимації розв'язку використовувати систему простих базисних функцій, які залежать від координат вузлів на відрізку

. У цьому випадку розв'язання крайової задачі зводиться до формування і розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тому метод отримав назву методу скінченних елементів. Його часто використовують для розв'язання дво- та тривимірних диференціальних рівнянь із частинними похідними.

Шукатимемо наближений розв'язок задачі

(11.59)

як лінійну комбінацію простих однотипних функцій

, (11.60)

що мають вигляд

(11.61)

і, як правило, називаються фінітними. Графік однієї з таких функцій наведено на рис. 2, де видно, що функція не дорівнює нулю тільки на інтервалі

. Щодо множини фінітних функцій, які задаються на відрізку

відомо, що вони лінійно незалежні (більш того, ортогональні в спеціальній енергетичній нормі) і утворюють повну систему в просторі

.Це дає підставу використати їх як базисні функції в методі Гальоркіна.

рис. 2. Графік фінітної функції.

Запишемо умову ортогональності (11.50):

(11.62)

і отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для знаходження невідомих

.Праві частини цих рівнянь позначимо через

і отримаємо для їх обчислення вираз

(11.63)

Коефіцієнти системи рівнянь (11.62) позначимо через

Знайдемо вирази для коефіцієнтів системи рівнянь

з невідомими

. Підставляючи в останній вираз

, отримаємо

Перший з інтегралів у цьому виразі обчислимо по частинах:

Оскільки за граничних умов (11.60) використовуються

, базисних функцій від

до

і всі вони в точках

дорівнюють 0, то

Тоді вираз для обчислення набуває вигляду:

(11.64)

Для обчислення

треба знайти значення похідних від фінітних функцій. Із цією метою диференціюємо (11.61) і отримуємо:

(11.65)

Функція відмінна від нуля тільки на інтервалі

. Крім того, на одному і тому ж інтервалі ненульовими є дві базисні функції і їх похідні з сусідніми індексами (рис. 3), тобто на інтервалі

відмінні від нуля

і т. д.

рис. 3. Система фінітних функцій.

У виразі для

(11.64) добутки

можна вважати відмінними від нуля тому, що на елементарному інтервалі не дорівнюють нулю фінітні функції та їх похідні, які мають сусідні індекси у випадках, коли

. А це означає, що

для

, (11.66)

тобто матриця системи

(11.62) є тридіагональною матрицею. її ненульові елементи обчислюються таким чином. Формули для діагональних елементів отримаємо, приймаючи

у виразі (11.64):

(11.67)

Для

, отримаємо формули для елементів правої бічної діагоналі матриці

, (11.68)

а для

- лівої;

Три останні вирази визначають систему алгебраїчних рівнянь (11.62) для невідомих коефіцієнтів

Розглянемо розв’язання задачі (11.59) у випадку неоднорідних граничних умов

(11.70)

і зведемо її до розв'язання задачі з однорідними граничними умовами. Для цього введемо заміну:

, де

Двічі диференціюючи цю функцію і підставляючи вирази для похідних у рівняння (11.59), отримаємо крайову задачу з однорідними граничними умовами:

. (11.71)

Постановка задачі

Щоб знайти єдиний розв'язок звичайного диференціального рівняння, необхідно задати деякі допоміжні умови, що використовуються для обчислення інтегрування. Для рівняння n-ого порядку потрібно п таких умов. Якщо ці умови задаються для одного значення незалежної змінної (зокрема, для одного кінця інтервалу, на якому необхідно знайти розв'язок), то говорять про початкові умови для задачі Коші. Якщо ж додаткові умови задаються для значень незалежної змінної на різних кінцях інтервалу, то мають на увазі крайову задачу і граничні умови для неї.

Двоточкова крайова задача для рівняння другого порядку має такий вигляд:

(11.1)

із граничними умовами

(11.2)

Перш ніж застосовувати будь-який чисельний метод, варто перевірити умови, що гарантують існування розв'язку цієї задачі. Наведена нижче теорема визначає загальні умови, що забезпечують існування й одиничність розв'язку.