Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (стр. 4 из 8)

Теорема. Припустимо, що

неперервна в області

І що

Теж неперервні на

. Якщо існує постійна

, для якої виконуються умови

для всіх

(11.3)

то крайова задача (11.1) (11.2) має єдиний розв'язок

для

Найчастіше зустрічаються і найкраще вивчені двоточкові лінійні крайові задачі виду

(11.4)

(11.5)

де

Умови, які повинні задовольняти функції

, для того щоб задача (11.4), (11.5) мала єдиний розв'язок, випливають із теореми як наслідок.

Наслідок. Якщо

неперервні на

, то задача (11.4), (11.5) має єдиний розв'язок на

Граничні умови (11.5) визначають третю крайову задачу для рівняння (11.4). Якщо припустити, що

, то умови (11.5) визначають першу крайову задачу, а коли

- другу.

Точне (аналітичне) розв'язання крайових задач - більш складна процедура, ніж знаходження розв'язку задачі Коші. Це спричинило появу великої кількості наближених методів. Ці методи можна розділити на дві групи: наближено-аналітичні методи, що дають наближений розв'язок крайової задачі на відрізку

у вигляді конкретної аналітичної функції, і чисельні методи, що визначають розвозок у вигляді табличної функції, заданої на сітці відрізка

Метод скінченних різниць

Ідея методу скінченних різниць полягає в тому, що похідні в диференціальному рівнянні (11.4) і граничних умовах (11.5) заміняються їх скінченними різницями. Для цього спочатку введемо на відрізку

сітку з кроком

Позначимо через

точний розв'язок задачі (11.1) у і-му вузлі сітки, а через

- наближений розв'язок у цій точці. Заміняючи в кожному внутрішньому вузлі сітки похідні різницями, отримаємо різницеві рівняння:

Симетричні різницеві апроксимації похідних першого і другого порядків мають похибку другого порядку відносно

, тобто

. Це легко довести на основі розкладання в ряд Тейлора точного розв'язку рівняння. Дійсно, для вузлів

та

маємо

з різниці яких отримуємо шуканий результат:

(11.21)

Знайдемо нев’язку різницевого рівняння

Оскільки

є точним розв'язком рівняння (11.4),

та

. (11.22)

Тому різницеве рівняння (11.21) апроксимує вихідне диференціальне рівняння

(11.4) також із другим порядком відносно

Тепер апроксимуємо граничні умови скінченними різницями:

(11.23)

Знайдемо похибку апроксимації граничних умов. Нев’язки граничних умов (11.23) мають вигляд:

Асиметрична апроксимація першої похідної на відміну від симетричної має глобальну похибку першого порядку відносно

, тобто

. Це безпосередньо випливає з розкладання в ряд Тейлора

із якого отримуємо

Отже, граничні умови (11.23) апроксимуються з першим порядком за к. Порядок їх апроксимації можна підвищити до другого, наприклад, використовуючи співвідношення

(11.24)

похибка апроксимації яких також пропорційна

, як і для випадку симетричної апроксимації похідних. Це випливає із порівняння двох рядів Тейлора:

Якщо перший вираз помножити на 4 і відняти його від другого, отримаємо:

Після його підстановки у формулу (11.24) знаходимо нев'язку у вигляді:

тобто крайова умова апроксимується з другим порядком відносно

У такий же спосіб доводиться, що і друга гранична умова (11.23) апроксимується з другим порядком відносно

Розглянемо ще одну можливість апроксимації крайових умов типу (11.5) на прикладі умови

Для цього за межами інтервалу

вводиться додаткова точка

, за допомогою якої обчислюється перша похідна за симетричною формулою апроксимації:

. (11.25)

Точку

можна виключити, скориставшись співвідношенням (11.25) і різницевою апроксимацією диференціального рівняння (11.4) в кінцевій точці інтервалу