Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (стр. 5 из 8)

Отримуємо рівняння для граничної умови в точці

із порядком , яким можна замінити останнє рівняння в системі алгебраїчних рівнянь, одержаній у разі кусочно-різницевої апроксимації похідних у рівнянні (11.4).

Те ж саме можна зробити з першою умовою (11.5) і першим апроксимуючим рівнянням для

. Варто підкреслити, що врахування граничних умов різних типів впливає тільки на перше й останнє рівняння цієї системи.

Зведемо подібні члени в рівнянні (11.21) і отримаємо стандартне триточкове різницеве рівняння:

, (11.27)

.

Включивши до системи рівнянь (11.25) різницеве рівняння (11.23) чи (11.24), отримаємо систему рівнянь, що містить

рівняння з невідомими .

Порівняємо ці два варіанти апроксимації крайової задачі. У першому з них система лінійних алгебраїчних рівнянь, утворена рівняннями (11.21) і (11.23), має тридіагональну матрицю коефіцієнтів, і її можна розв'язати методом прогону. Щоб застосувати метод прогону в другому випадку, слід створити відповідну тридіагональну матрицю. Для цього потрібно з першого рівняння (11.27) для

Маємо рівняння з двома невідомими -

і . Замінимо ним перше рівняння (11.24). Виконаємо такі ж перетворення з другим (11.24) і останнім рівнянням (11.27) для :

Виключивши з них

, знаходимо:

Це рівняння містить дві невідомі -

і . Замінимо ним друге рівняння (11.27). Два останні рівняння разом із (11.27) утворюють систему рівнянь із тридіагональною матрицею, що апроксимує вихідну крайову задачу (11.4), (11.5) з порядком . Цю систему також можна розв'язати методом прогону. Метод прогону є стійким, якщо матриця коефіцієнтів діагонально домінантна. Забезпечити діагональну домінантність можна обранням кроку . Для цього необхідно, щоб для системи рівнянь (11.27) виконувались умови:

і , .

Підсилюючи останні нерівності, маємо такі обмеження на величину кроку:

і , . (11.28)

Щоб задовольнялись умови (11.23), мають виконуватись нерівності

і . (11.29)

Наявність обмежень (11.28) і (11.29) свідчить про умовну стійкість розглянутого методу апроксимації.

Дослідження точності

Дослідження точності отриманих виразів при чисельних розрахунках зручно робити за допомогою апостеріорної оцінки, по швидкості спадання членів відповідного ряду Тейлора. Якщо крок сітки досить малий, то похибка близька до першого відкинутого члена.

У такий спосіб порядок точності результату стосовно кроку сітки дорівнює числу залишених членів ряду, чи іншими словами, він дорівнює числу вузлів інтерполяції мінус порядок похідної. тому мінімальне число вузлів необхідне для обчислення m-ої похідної, дорівнює m+1, воно забезпечує перший порядок точності.

Ці висновки відповідають принципу: при почленному диференціюванні ряду швидкість його збіжності зменшується.

Якщо врахувати погіршення збіжності ряду при диференціюванні, то можна зробити висновок: навіть якщо функція задана добре складеною таблицею на досить докладній сітці, то практично чисельним диференціюванням можна визначити першу і другу похідні, а третю і четверту – лише з великою похибкою. Похідні більш високого порядку рідко вдається обчислити з задовільною точністю.

Одним з найбільш простих і досить ефективних методів оцінки похибки й уточнення отриманих результатів є правило Рунге. Для оцінки похибки за правилом Рунге порівнюють наближені розв’язки, отримані при різних кроках сітки. При цьому використовується наступне припущення: глобальна похибка методу порядку p у точці х_i подається у вигляді

.

За формулою Рунге

Таким чином, із точністю до

(величина більш високого порядку малості) при h→0 похибка методу має вигляд:

де y_i – наближене значення, отримане в точці

з кроком h; y_2i – із кроком h/2; p - порядок методу; y(x_2i) - точний розв’язок задачі.

Формула Рунге:

.

Збіжність різницевої схеми

Постановка задачі

Універсальним методом наближеного розв’язання, є метод скінченних різниць. Як задачі представлені у вигляді систем нелінійних рівнянь у часткових, які розглядаються у області

Розв’язок задачі в

має додаткові умови:

1) умови при

називають початковими умовами;

2) умови на границі

області — крайовими або граничними умовами.

Задача з початковими умовами – називається задачею Коші.

Нехай

. Тоді для функції маємо задачу:

(1)

(2)

де

и - диференціальні оператори задачі і крайових умов. Припустимо ,що відповідно задачі (1-2) поставлені коректно, тобто оператори А и R; область D и її границі Г такі, що при виборі відповідних класів функцій і правих частин у рівняннях (1) и (2) розв’язок існує, і залежить від початкових даних.

Різницева схема

Введемо у області

сітку , яка складається з множини внутрішніх вузлів і множини граничних вузлів :

Далі розглянемо сіткові функції

і з їх допомогою побудуємо наближений розв’язок задачі (1-2). Для цього відносно сформулюємо "різницеву задачу", заміняючи оператори задачі і і їх сітковим аналогами и . Тоді на сітковому шаблоні маємо

(3)

(4)

Задачу (3)-(4) назвемо різницевою схемою для задачі (1)-(2). Звичайно це алгебраїчна система рівнянь відносно

.