Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (стр. 6 из 8)

При переході від початкової задачі (1)-(2) до її різницевого аналогу (3)-(4) особливо важливі 3 групи питань:

- існування, єдиність і алгоритм побудови різницевого розв’язку

;

- при яких умовах різницевий розв’язок

збігається до точного розв’язку і яка при цьому швидкість збіжності;

- як конкретно вибирати сітку

і побудувати різницеву схему і у задачі (3)-(4).

Нев’язка різницевої схеми

При побудові різницевого рівняння задачі

ми отримали задачу, якої точний розв’язок

, як правило, не задовольняє. Сіткову функцію

називають нев’язкою сіткового рівняння (3). Її зручно представити на розв’язку и(х) у вигляді:

на (5)

Аналогічно знаходяться нев’язки граничних умов

на (5')

Як правило нев’язки

і оцінюють по параметру через розклад у ряд Тейлора в припущені гладкості відповідного розв’язку для отримання представлення нев’язки з залишковим членом виду .

Апроксимація різницевої схеми

Різницева схема (3)-(4) апроксимує задачу (1)-(2), якщо має місце:

(6)

Тобто відповідні нев’язки

0 к нулю при .

Апроксимація задачі (1)-(2) має порядок

, якщо

(6')

У цих випадках норми рахуються для сіткових функцій на

і але у своїх функціональних просторах.

Зауваження:

Сам розв’язок задачі (1)-(2) ,як правило невідомий і використовувати його для отримання нев’язок

і не можна. Тому беруть широкий клас функцій і вимагають апроксимації порядку к задачі (1)-(2) , тобто

.

При цьому на розв’язку

задачі (1)-(2) апроксимація буде не гірше, ніж порядок

Як правило схема (3)-(4) по різним змінним має різний порядок апроксимації , наприклад, нев’язка рівняння

Така апроксимація називається абсолютною на відміну від умовної апроксимації у випадку, коли, наприклад

При умовній апроксимації різницеве рівняння може апроксимувати різні диференціальні задачі.

Стійкість різницевої схеми

Відсутність стійкості різницевої схеми характеризується тим, що малі помилки, допущені на якому-небудь етапі обчислення, надалі сильно зростають і роблять непридатним результат розрахунку (чи взагалі неможливим сам розрахунок). Звичайно стійкість різницевої схеми оцінюють по погрішності вхідних даних, оскільки погрішність апроксимації, у силу визначення (6), при

до нуля. Виділимо в структурі погрішності ці доданки:

Типовий графік залежності погрішності сіткового рішення від величини кроку такий:

I - При зменшенні кроку спочатку погрішність усіх схем убуває, тому що істотно зменшується погрішність апроксимації.

П - Для стійких схем погрішність сіткового рішення буде прагнути до скінченої величини, зв'язаної з помилкою вхідних даних. Якщо при

помилка вхідних даних зникає, те - це випадок III. Тобто стійка схема в цьому випадку дозволяє одержати як завгодно високу точність розрахунку.

Якщо ж схема не стійка (IV), то при

похибка зростає(чи зростає об’єм не стійких обчислень). Похибка буде мати ненульовий мінімум і вже неможливо одержати як завгодно високу точність розрахунку.

Як правило похибка вхідних даних і апроксимації мають степеневий характер залежності від

; а не стійкість приводить до зростання похибки розв’язку по експоненціальному закону і при розрахунки втрачають сенс. Нагадаємо

Різницева схема (3-4)стійка по вхідним даним

і

, якщо розв’язок різницевої схеми неперервно залежить від вхідних даних і ця залежність рівномірна відносно кроку сітки

, тобто є

(

не залежить від

) таке, що

(7)

Для лінійних схем різницеве рішення лінійно залежить від вхідних даних (у силу лінійності зворотного оператора)і

. Тоді

Зауваження:

На стійкість різницевої схеми впливає не тільки апроксимація рівнянь (1) (тобто оператора А), але, і особливо, крайових умов (2).

Якщо змінних у задачі мало, то розглядають безумовну й умовну стійкість;

Збіжність різницевої схеми

Розв’язуючи сіткову задачу (3)-(4) нас цікавить близькість сіткового розв’язку у(х) до розв’язку и(х) задачі (1)-(2). Різницевий розв’язок у(х) збігається до розв’язку и(х), якщо

(10)

Різницевий розв’язок має порядок точності

, якщо

(10')

Нагадаємо ще раз, що ми розглядаємо лише коректні різницеві схеми (3)-(4), тобто рішення різницевої схеми існує і єдино при будь-яких вхідних даних

и з заданих класів функцій і схема стійка по вхідним даної (її рішення неперервно них залежить).

Теорема: Якщо розв’язок задачі (1)-(2)

існує, різницева схема (3)-(4) коректна и апроксимує задачу (1)-(2), то різницевий розв’язок

збігається до точного: