Чисельні методи розвязування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь (стр. 1 из 8)
Міністерство освіти і науки України
Сумський Державний Університет
Кафедра Інформатики
Курсова робота
на тему:
«Чисельні методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь»
«Метод скінченних різниць»
Суми 2006
Зміст
Вступ
Постановка задачі
Метод скінчених різниць
Дослідження точності
Збіжність різницевої схеми
Програмна реалізація(представлена на мові Delphi
Висновки
Література
Вступ
На сьогоднішній день існує багато чисельних методів розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Але всі вони поділяються на дві групи: наближені методи чисельного розв’язання і наближені аналітичні методи.
Наближені чисельні методи:
1.Розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші:
Припустимо, що розв'язок задачі (11.4), (11.5) будемо шукати у вигляді
(11.6)де
- деяка константа, 
- функція, що задовольняє однорідне рівняння 
(11.7)а
- функція, яка задовольняє неоднорідне рівняння 
(11.8)Через те, що рівняння (11.4) є лінійним, функція
буде його розв'язком для будь-якого 
. Справді, 
Якщо припустити, що розв’язок (11.6) задовольняє першу граничну умову (11.5) для будь-якого
, то отримаємо рівняння
Ця гранична умова задовольняється, якщо покласти
(11.9) 
(11.10)Рівність (11.9) справедлива, коли прийняти, наприклад, що
, 
(11.11)Щоб задовольнити рівність (11.10), можна покласти
, 
, якщо 
(11.12) 
, 
, якщо 
(11.13)Враховуємо, що одночасно
і 
на нуль не перетворюються через умову (11.5).Таким чином, для розв'язання крайової задачі (11.4), (11.5) необхідно знайти розв'язок задач
, , 
(11.14) 
(11.15)з початковими умовами (11.12) чи (11 13). Для цього можна використати будь-який чисельний метод розв'язання задачі Коші для рівнянь другого порядку. Наближений розв'язок цих рівнянь отримуємо на відрізку
, у результаті чого стають відомими значення 
, 
, 
, 
. Це дозволяє вибрати таку константу . щоб функція (11.6) задовольняла не тільки рівняння (11.12) і першу граничну умову, але і другу граничну умову (11.5). Маємо 
,звідки
,якщо
. (11.16)Коли
, то однорідна крайова задача 
, 
, 
мас нетривіальний розв'язок
, який є ознакою виродженості початкової задачі (11.4), (11.5).2. Метод прицілювання:
Викладений вище метод редукції крайової задачі до задачі Коші має певні недоліки.
Він не дозволяє використовувати методи розв'язання задачі Коші зі змінним порядком і змінним кроком. Розв'язки
і повинні обчислюватись на сітці з однаковим кроком, інакше знайти їх комбінацію (11.6) буде неможливо.Використання методу, як правило, обмежується лише одновимірною лінійною задачею. Причина полягає в тому, що під час розв'язання системи рівнянь потрібно обчислювати не одне значення константи А (11.16), а матрицю А, що є далеко не простою задачею.
Метод не придатний для розв'язання нелінійних крайових задач.
Ці недоліки спричинилися до появи нових методів. На практиці двоточкова крайова задача (лінійна чи нелінійна) звичайно розв'язується методом прицілювання (стрільби), назва якого запозичена із теорії артилерійської стрільби. Відповідно до цього методу розв'язок шуканого рівняння другого порядку
із заданими граничними умовами
, 
, 
знаходять у такий спосіб: ітераційним розв'язанням задачі Коші
(11.18) і 
підбирається значення першої похідної
, для якої виконується друга крайова умова .Спочатку вибирається довільне значення
і розв'язується задача Коші (11.18). Значення 
бажано вибирати так, щоб наближений розв'язок на кінці інтервалу задовольняв умову 
(рис 1.). Потім вибирається 
, і розв'язання задачі Коші повторюється. Тепер бажано вибрати його так, щоб виконувалась умова 
(рис 1.).
рис. 1. Ілюстрація методу стрільби.
Після цього шляхом інтерполяції уточнюється значення
для задач Коші з початковими умовами: 
, 
…….. …….. ……..
де
- наближений розв'язок задачі Коші в точці 
для вибраного значення .Метод прицілювання є універсальним і використовується для розв'язання нелінійних диференціальних рівнянь
-ого порядку. Слід зазначити, що довільний вибір початкового наближення може привести до того, що задача (11.18) виявиться жорсткою навіть у випадку, коли задача (11.1), (11.2) є добре обумовленою.Наближені аналітичні методи: