Послідовність незалежних випробувань (стр. 2 из 3)

Перевіримо оцінку на незміщеність, знайшовши її математичне сподівання:

Перетворення виконано згідно з властивостями математичного сподівання та з урахуванням того, що результати вибірки є незалежними однаково розподіленими випадковими величинами. Знайдемо

випадкової величини, розподіленої за законом Релея:

Тоді

тобто оцінка незміщена.

Перевірку обґрунтованості оцінки виконаємо, скориставшись другою формою нерівності Чебишова, тобто оцінимо ймовірність

Щоб знайти дисперсію оцінки, виконаємо обчислення:

(Останній інтеграл, що є математичним сподіванням квадрата випадкової величини, дорівнює

і обчислювався раніше.) Тоді Отже, маємо:

Підставляючи дисперсію оцінки в нерівність Чебишова, дістаємо:

Отже, оцінка обґрунтована.

Знаходимо дисперсію ефективної оцінки:

Дисперсія ефективної оцінки збігається з дисперсією знайденої оцінки для

а це означає, що оцінка ефективна.

Приклад 2. За методом моментів знайти оцінку параметра р геометричного розподілу за даними вибірки обсягом n.

Розв’язання. Геометричний закон розподілу визначається формулою:

Оскільки потрібно знайти оцінку одного параметра, зрівнюємо теоретичні і статистичні початкові моменти першого порядку:

Приклад 3. За даними вибірки обсягом n із нормально розподіленої сукупності, дисперсія якої

, а надійність , знайти інтервальну оцінку для математичного сподівання цієї сукупності.

Розв’язання. Інтервальна оцінка для математичного сподівання, якщо дисперсія сукупності

відома, подається у вигляді

де де — функція Лапласа.

Для побудови оцінки розглядалась вибіркова функція

яка має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Приклад 4. Розв’язати попередню задачу для випадку, коли дисперсія сукупності невідома.

Розв’язання. У цьому випадку інтервальну оцінку побудуємо за допомогою вибіркової функції

яка розподілена за законом Стьюдента з n – 1 ступенями волі. Довірчий інтервал

де

а де — функція розподілу Стьюдента з n – 1 ступенями волі. Якщо кількість ступенів волі перевищує 20, то розподіл Стьюдента практично не відрізняється від нормального закону розподілу з нульовим математичним сподіванням і одиничною дисперсією.

Приклад 5. За результатами вибірки обсягом n із нормально розподіленої сукупності з надійністю

знайти довірчий інтервал для дисперсії сукупності.

Розв’язання. Для визначення довірчого інтервалу беремо вибіркову функцію

яка має розподіл з n – 1 ступенями волі. Довірчий інтервал подається у вигляді Значення визначаються за допомогою таблиць розподілу з відповідною кількістю ступенів волі:

3. Математична теорія експерименту у техніко-економічних задачах

Можна виокремити щонайменше чотири функції щодо застосування математичної теорії експерименту у техніко-економічних задачах.

1. Удосконалення системи економічної інформації. Математичні експерименти дозволяють упорядковувати систему економічної інформації, виявляти недоліки в наявній інформації і виробляти вимоги до підготовки нової інформації чи її коригування. Розробка і застосування економіко-математичних моделей вказує шляхи вдосконалення економічної інформації, орієнтованої на вирішення певної системи завдань планування та управління. Прогрес у інформаційному забезпеченні планування та управління спирається на технічні й програмні засоби інформатики, яка бурхливо розвивається.

2. Інтенсифікація і підвищення точності економічних розрахунків. Формалізація економічних задач і застосування комп’ютерів багаторазово прискорюють типові, масові розрахунки, підвищують точність і скорочують трудомісткість, дозволяють проводити багатоваріантні економічні дослідження та обґрунтування складних заходів, недосяжні за панування «ручної» технології.

3. Поглиблення кількісного аналізу економічних проблем. Завдяки застосуванню математичного експерименту значно підсилюються можливості конкретного кількісного аналізу, вивчення багатьох чинників, які впливають на економічні процеси, кількісна оцінка наслідків змін умов розвитку економічних об’єктів тощо.

4. Розв’язання принципово нових техніко-економічних задач. За допомогою математичного експерименту вдається розв’язувати такі економічні задачі, які іншими засобами розв’язати практично неможливо, наприклад, знаходження оптимального варіанта народногосподарського плану, імітація народногосподарських заходів, автоматизація контролю за функціонуванням складних економічних об’єктів.

Сфера практичного застосування економіко-математичного експерименту обмежується можливостями та ефективністю формалізації економічних проблем і ситуацій, а також станом інформаційного, математичного, технічного забезпечення використовуваних моделей. Намагання за будь-яку ціну застосувати математичну модель може не дати очікуваних результатів через відсутність необхідних умов.

Відповідно до сучасних економічних уявлень щодо системи розробки і прийняття господарських рішень вона має поєднувати формальні та неформальні методи, які підсилюють один одного. Формальні методи є передусім засобом науково обґрунтованої підготовки матеріалу для наступних раціональних дій людини в процесах управління. Це дозволяє продуктивно використати досвід, інтуїцію людини, її здатність розв’язувати задачі, які важко формалізуються.

У процесі створення та машинної реалізації математичних імітаційних моделей здійснюють такі (узагальнені) етапи:

o побудова концептуальної моделі;

o побудова алгоритму згідно з концептуальною моделлю системи;

o створення комп’ютерної програми;

o машинні експерименти з моделлю системи.

Побудова концептуальної моделі експерименту

Побудова концептуальної моделі складається з таких кроків: