Послідовність незалежних випробувань (стр. 1 из 3)

Зміст

1. Послідовність незалежних випробувань. Моменти біноміального розподілу

2. Оцінка дисперсії

3. Математична теорія експерименту у техніко-економічних задачах

4. За даними закону розподілу знайти М(х), Д(х), σ(х)

Література

1. Послідовність незалежних випробувань. Моменти біноміального розподілу

Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може як відбутись, так і не відбутись. Якщо ця ймовірність у кожному випробуванні не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називаються незалежними щодо події А. Згідно з означенням випробування також незалежні, якщо в кожному з них імовірність настання події А однакова, тобто дорівнює тому самому числу. Імовірність того, що подія А відбудеться в кожному з незалежних випробувань, позначають

а ймовірність настання протилежної події

Для розв’язування задач на повторні незалежні випробування застосовують такі формули і теореми.

Формула Бернуллі. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких імовірність Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається так:

Формула застосовується, якщо

Найімовірніша кількість. Частота

настання події А в n незалежних повторних випробуваннях називається найімовірнішою кількістю (появи цієї події), якщо їй відповідає найбільша ймовірність. Вона визначається за формулою:

Розподіл може мати одне або два найімовірніші числа.

Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А) = р, подія А відбудеться m раз, подається такою наближеною залежністю:

Локальна теорема Лапласа дає змогу обчислювати ймовірності

, якщо n > 10 i p > 0,1.

Формула Пусона. Якщо в кожному з n незалежних повторних випробувань

, а n велике, то

Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А відбудеться від

до раз при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, подається формулою:

— функція Лапласа;

Значення функції Лапласа наводяться у спеціальних таблицях.

Відхилення відносної частоти від імовірності. Імовірність того, що при проведенні n незалежних випробувань відхилення відносної частоти події А від її ймовірності за модулем не перевищить e, визначається за формулою:

Твірна функція. Нехай проводяться n незалежних випробувань, в яких подія А відбувається з імовірністю

Тоді ймовірність настання цієї події m раз визначається за допомогою твірної функції

Якщо перетворити праву частину функції і звести подібні члени, то коефіцієнт при

визначає

У теорії ймовірностей часто застосовуються деякі закони розподілу випадкових величин. Розглянемо ці розподіли, а також задачі, де вони використовуються.

Біноміальний закон розподілу

Імовірності в цьому законі визначаються за формулою

m = 0,1,2, …, n.

Закон справджується для схеми незалежних повторних випробувань, у кожному з яких подія А настає з імовірністю р. Частота настання події А має біноміальний закон розподілу. Числові характеристики розподілу:

2. Оцінка дисперсії

Оцінка параметра розподілу сукупності

у загальному випадку є випадковою величиною, яка визначається за даними вибірки і використовується замість невідомого значення параметра, який потрібно оцінити.

Оцінка називається обґрунтованою, якщо вона збігається за ймовірністю до відповідного параметра при

Оцінка називається незміщеною, якщо її математичне сподівання збігається зі значенням параметра.

У різі вибору з усіх відомих незміщених обґрунтованих оцінок певної оцінки потрібно зазначити критерій, за яким зроблено вибір.

Найчастіше застосовується критерій, який полягає у виборі оцінки, що має найменшу можливу дисперсію. Така оцінка називається ефективною. Нижня межа дисперсії незміщеної оцінки параметра

(яку позначатимемо ), подається формулою:

де

— щільність розподілу випадкової величини (для дискретної випадкової величини ).

Оцінки параметрів розподілу знаходять методами максимальної правдоподібності і моментів. Метод максимальної правдоподібності полягає ось у чому. Нехай закон розподілу випадкової величини подається через параметр

, який у загальному випадку k-вимірний. Тоді для вибірки спільний закон розподілу подається функцією правдоподібності (запишемо, наприклад, для неперервних величин):

За оцінки максимальної правдоподібності параметрів

беруться вибіркові функції, які є розв’язком системи рівнянь:

Застосування методу моментів ґрунтується на збіжності (за ймовірністю) статистичних моментів розподілу до відповідних теоретичних моментів розподілу, які в такому разі мають існувати. Як відомо, теоретичні моменти розподілу виражаються через параметри розподілу. Складаємо систему k рівнянь, в якій попарно прирівнюємо відповідні теоретичні і статистичні моменти. Розв’язком цієї системи є оцінки для параметрів розподілу.

Нехай маємо точкову оцінку

параметра . Знайдемо для параметра інтервальну оцінку, скориставшись умовою В такому разі e називається точністю оцінки, а g — її надій- ністю. Тоді інтервальна оцінка (довірчий інтервал) для параметра q набуває вигляду Параметр q — не випадкова величина, надійність g можна розглядати як імовірність того, що випадковий інтервал покриває дійсне значення параметра. Величини тісно зв’язані з обсягом вибірки Якщо задати дві з цих величин, то можна знайти третю. Для цього потрібно знати закон розподілу для

Приклади розв’язування задач

Приклад 1. Вибірку обсягом n зроблено із сукупності, розподіленої за законом Релея

Знайти оцінку для параметра

і перевірити її на незміщеність, обґрунтованість і ефективність.

Розв’язання. Застосуємо метод максимальної правдоподібності. Побудуємо функцію правдоподібності, складемо і розв’я жемо рівняння для визначення оцінки: