Застосування координатного методу в стереометрії (стр. 2 из 3)

Параметричне рівняння прямої. Оберем прямокутну систему координат і задамо пряму d з напрямним вектором

та точкою М₀ (x₀, y₀,z₀). Точка М (x, y, z) простору належить прямій d тоді та тільки тоді, коли вектори та колінеарні, тобто коли існує таке число t, що . Це відношення в координатах запишеться так:

,

або

(6)

Ці рівності звуться параметричними рівняннями прямої , а t- параметром.

Будь-яку площину у просторі можна задати точкою, що їй належить М₀ (x₀, y₀,z₀) та направляючим підпростором

, де

та два неколінеарних вектори. Будь-яка точка належить площині тоді та тільки тоді, коли виконана рівність:

(7)

Розкриваючи по елементах першого стовпчика визначник, отримаємо рівняння площини у вигляді:

Ax+By+Cz+D=0 (8)

де

.

Рівняння (8) є загальним рівнянням площини.

Приклад. Нехай задано М₀ (8,-5,6) та

та . Треба записати рівняння площини.

Розв’язання. Згідно (8) визначаємо параметри загального рівняння площини:

Таким чином, рівняння площини має вигляд:

-66x-60y-12z+300=0

3. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих, двох площин, прямої та площини у просторі.

Нехай є дві площини

(9)

З’ясуємо, за яких умов ці площини : а) паралельні; б) перепендикулярні.

Оскільки A₁,B₁,C₁ –координати вектора

, що перпендикулярний першій площині, а A₂,B₂,C₂ –координати вектора , що перпендикулярний другій площині, то площини паралельні, якщо вектори , паралельні, тобто якщо їх координати пропорціональні:

.

Ця умова разом з тим достатня для паралельності площин ,якщо вони не співпадають.

Для того, щоб площини (9) були перпендикулярні, необхідно та достатньо, щоб вказані вектори

, були перпендикулярні, що для ненульових векторів еквівалентно умові:

або А₁А₂+ В₁В₂+ С₁С₂=0.

Приклад. Нехай задано дві площини:

Треба з’ясувати їх взаємне розташування. В даному випадку маємо:

площини не паралельні.

1*2-1*1-2*1=-1

площини не перпендикулярні.

Таким чином, площини розташовані під деяким углом, відмінним від ноля та дев’яноста градусів.

Нехай є площина та пряма, задані рівняннями:

Оскільки вектор

перпендикулярний площині, а вектор паралельний прямій, то пряма та площина паралельні, якщо ці вектори перпендикулярні, тобто якщо

(10)

Якщо при цьому точка ( x₀, y₀,z₀), що належить прямій, задовольняє рівнянню площини

то пряма розташована у площині.

Пряма та площина перпендикулярні, якщо вектори

та паралельні, тобто якщо

(11)

Нехай дві прямі задані рівняннями в канонічній формі:

(12)

(13)

Оскільки вектор

паралельний першій прямій, а вектор паралельний другій прямій, то прямі паралельні якщо

Зокрема, прямі співпадають, якщо при цьому точка першої прямої, наприклад (x₀,y₀,z₀) задовольняє рівнянню другої прямої, тобто якщо

.

Прямі перпендикулярні ,якщо вектори

та

перпендикулярні, тобто якщо

Приклад. Нехай задано площину та пряму:

Треба з’ясувати їх взаємне розташування.

Розв’язання. Маємо:

площина та пряма не паралельні;

площина та пряма не перпендикулярні.

Таким чином, площина та пряма розташовані у просторі під деяким кутом, відмінним від ноля та дев’яноста градусів.

4. Дведення координатним методом теореми про три перпендикуляри.

Теорема про три перпендикуляри: якщо пряма, проведена на площині через основу нахилої, перпендикулярна її проекції, то вона перпендикулярна нахилій. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна наклонній, то вона перпендикулярна і проекції нахилій.

Доведення. Нехай АВ- перпендикуляр до площини

, АС –нахила та с- пряма в площині , що проходить через основу С нахилої (малюнок 3). Проведемо пряму , паралельну прямій АВ. Вона перпендикулярна площині . Проведемо через прямі АВ та площину . Пряма с перепендикулярна прямій . Якщо вона перпендикулярна прямій СВ, то вона перпендикулярна площині , тобто, і прямій АС.

Аналогічно, якщо пряма с перпендикулярна похилій СА то вона, будучи перпендикулярною і прямій

, перпендикулярна площині , а значить, і проекції похилій ВС. Теорему доведено.

Того ж самого результату можна досягти, якщо скористатись координатним методом, попередньо задавши відповідні прямі їх напрямними векторами та послідовно використовуючи ознаки паралельності та перпендикулярності прямих у просторі.

Малюнок 2- Доведення теореми про три перпендикуляри.

5. Доведення методом координат ознаки паралельності двох площин.

Нехай завдані площини

своїми рівняннями:

(14)

(15)