Сущность теории вероятностей (стр. 5 из 7)

P(Y) =0,25+0,40+0,35=1

2) Для того чтобы определить условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что величина Y приняла значение Y_j, воспользуемся формулой:

где n = 1,2, а P(Y_j) - вероятность того, что Y примет значение Y_j,определенное из закона распределения компоненты Y. Подставив данные в формулу, получаем:

Проверка: 0,625+0,375=1;

Мы определили условный закон распределения случайной величины Х, при условии, что величина Y приняла значение Y_2.

3) Аналогично определим условный закон распределения случайной величины Y, при условии, что величина Х приняла значение Х_i.:

Проверка:

Мы определили условный закон распределения случайной величины Y, при условии, что величина X приняла значение X_1.

4) Вычислим математическое ожидание компонент X и Y:

х₁=1, x₂=2 следовательно

y₁=1, y₂=2, y₃=3 следовательно

Задача №8

Случайная величина Y связана со случайными величинами x_i (i= 1,…,3) функциональной зависимостью вида

.

Известны математические ожидания случайных величин

и средние квадратические отклонения, Задана также нормированная корреляционная матрица:

Требуется:

1. Вычислить математическое ожидание случайной величины Y.

2. Вычислить среднее квадратическое отклонение случайной величины Y.

3. В предположении нормального закона распределения случайных величин x_i записать выражение для плотности распределения случайной величины Y.

Дано: а₁=-0.69; a₂=2.78; a₃=-2.61; b=8.33;

m_x1=1.33; m_x2=-0.98; m_x3=2.12;

σ_x1 =0.68; σ_x2 =1.53; σ_x3 =0.95;

r_x1x2 =-0.15; r_x1x3 =0.74; r_x2x3 =0.86

Найти:

1) m_y-?

2) σ_y -?

3) f(y)-?

Решение:

1) Т.к. случайная величина Y является линейной функцией от аргументов X₁,X₂,X₃ (Y(X₁,X₂,X₃)), то для определения

МОЖ Y воспользуемся теоремой МОЖ линейной функции:

МОЖ линейной функции равно той же линейной функции от МОЖ её аргументов:

M[Y]=

2) 2) Для вычисления среднего квадратического отклонения случайной величины Y, сначала воспользуемся формулой для нахождения дисперсии D_y линейной функции

Найдем корреляционные моменты K_ij величин x_ix_j из формулы для коэффициента корреляции:

.

Так как в задаче задано СКО, то воспользуемся формулой

:

3) Найдем выражение для плотности распределения случайной величины Y

Плотность n-мерного нормального закона распределения случайного вектора

имеет вид:

- корреляционная матрица, которая является положительно определенной симметрической матрицей,

- нормированная корреляционная матрица

Составим корреляционную матрицу вектора

K₁₂=K₂₁=-0.156;

K₁₃=K₃₁=0.478;

K₂₃=K₃₂=1.25

Для диагонального элемента

К₁₁ =(0.68)² =0.4624;

К₂₂ =(1.53)² =2.3409;

К₃₃ =(0.95)² =0.9025

Получаем корреляционную матрицу:

Составим матрицу коэффициентов функциональной зависимости

:

Рассчитаем корреляционную матрицу СВ Y:

Определитель матрицы:

Вычислим обратную матрицу:

Из 1-го пункта задачи имеем:

Найдем выражение одномерной плотности распределения случайной величины Y

Ответ:

1) m_y=-0.8453

2) σ_y =2.433

3)

Задание 9

Пусть Х – время задержки момента начала матчей на данном стадионе. Известно среднее значение времени задержки, которое составляет «а» минут.

Требуется:

1. Оценить вероятность того, что начало матча будет задержано не менее, чем на t минут.

2. Найти минимальное значение времени задержки начала матча t₀, при котором вероятность задержки на время не менее t₀ не превышает требуемого значения Р_тр, если дополнительно известно, что среднее квадратичное отклонение времени задержки начала матчей

секунд.

Дано: t₁=2.5; a=1.1; P_тр=0.4; b=52

Найти:

1) Р(t≥t₁)-?

2) t₀ -?

Решение:

1) Обозначим x-время задержания начала матча

Для решения задачи применим 1-ое неравенство Чебышева, так как оно имеет смысл тогда, когда

и устанавливает вероятность того, что случайная величина при произвольном законе распределения попадает на интервал ( ;∞), ограниченная

2) Воспользуемся вторым неравенством Чебышева, которое позволяет определить вероятность попадания случайной величины при произвольном законе распределения на интервал симметричный относительно математического ожидания:

52сек.=0.86 мин.

Ответ:

1) Вероятность того, что начало матча будет задержано не менее, чем на 2,5 минут равна 0.44

2) Минимальное значение времени задержки начала матча = 2.4596 минут

Задание 10

По заданному в таблице Приложения 4 временному ряду U=¦(T) требуется:

- построить диаграмму рассеивания, провести спецификацию модели тренда;

- провести идентификацию модели, ограничившись моделями линейного и квадратичного трендов;

-проверить адекватность построенных моделей по критериям случайности колебаний уровней остаточной последовательности (критерием серий или критерием поворотных точек), критерием соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения (критерием ассиметрии и эксцесса или критерием стьюдентизированного размаха), критерием проверки равенства математического ожидания случайной компоненты нулю, критерием проверки независимости значений уровней случайной компоненты (Дарбина-Уотсона);