Сущность теории вероятностей (стр. 6 из 7)
- выполнить точечный прогноз значений зависимой переменной U по линейному и квадратичному тренду для Τ=8 и T=9;
- выполнить интервальный прогноз для линейного тренда;
-сформулировать выводы о качестве трендовых моделей.
Решение:
Дано:
| T | F(T) |
| 1 | 4.9 |
| 2 | 3.2 |
| 3 | 7.1 |
| 4 | 7.6 |
| 5 | 10 |
| 6 | 18 |
| 7 | 20 |
1) Суть стадии спецификации заключается в том, что подбирается математическая модель, описывающая изменение процессов во времени.
Для построения диаграммы рассеивания воспользуемся программой Excel
2) Построим линии тренда
Линейная линия тренда используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением :
,где b константа.Квадратичная линия тренда используется для аппроксимации данных по методу наименьших квадратов в соответствии с уравнением:
,где
константы. 
R2 – величина достоверности аппроксимации
По характеру линии тренда видим, что с увеличение времени, значение переменной Y имеет тенденцию к увеличению.
Построим линию квадратичного тренда, так как парабола имеет большое доверие.
3) Коэффициент детерминации показывает степень соответствия трендовой модели исходным данным. Его значение может лежать в диапазоне от 0 до 1. Чем ближе коэффициент к 1, тем точнее модель описывает имеющиеся данные.
Значение коэффициента детерминации линейного тренда R2 = 0.8636
Значение коэффициента детерминации квадратичного тренда R2 = 0.9507
4) Для проверки адекватности построенных трендовых моделей воспользуемся критериями оценки моделей.
а) Критерий поворотных точек.
С помощью этого критерия можно проверить случайность остатков модели. В соответствии с этим критерием каждый уровень ряда сравнивается с двумя соединенными с ними. Если он больше или меньше их, то эта точка считается поворотной. Далее подсчитывается сумма поворотных точек m. В случайном ряду чисел должно выполняться строгое неравенство:
, где N – объем выборочной совокупности.В нашем случае число поворотных точек m=1
N=7
Данное условие не выполняется, следовательно, можно утверждать, что ряд остатков моделей не является случайным.
б) Критерий асимметрии и эксцесса.
Проверка ряда остатков на нормальность осуществляется с помощью показателей асимметрии и эксцесса (если объем выборочной совокупности не превышает 50 значений). При нормальном распределении показатели асимметрии и эксцесса равны нулю.
На основании выборочных данных строятся эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса по формулам:
; 
.В дополнение к выборочным коэффициентам асимметрии и эксцесса определяют среднеквадратические отклонения коэффициентов:
; 
Если одновременно выполняются следующие неравенства:
то гипотеза о нормальном характере распределения остатков принимается. 
Для линейной модели:
 |  |  |  |  |  |  |  |
| 1 | 4,9 | 1,7786 | 3,1214 | 9,74313796 | 30,41223 | 94,928737 | 9,7438559 |
| 2 | 3,2 | 4,5572 | -1,3572 | 1,84199184 | -2,49995 | 3,3929339 | 1,8416797 |
| 3 | 7,1 | 7,3358 | -0,2358 | 0,05560164 | -0,01311 | 0,0030915 | 0,05554742 |
| 4 | 7,6 | 10,1144 | -2,5144 | 6,32220736 | -15,8966 | 39,970306 | 6,32162906 |
| 5 | 10 | 12,893 | -2,893 | 8,369449 | -24,2128 | 70,047677 | 8,36878362 |
| 6 | 18 | 15,6716 | 2,3284 | 5,42144656 | 12,6233 | 29,392083 | 5,42198211 |
| 7 | 20 | 18,4502 | 1,5498 | 2,40188004 | 3,722434 | 5,7690277 | 2,40223651 |
| Сумма | 70,8008 | -0,0008 | 34,1557144 | 4,135524 | 243,50386 | 34,1557143 |
Так как второе неравенство не выполняется, то гипотеза о нормальном характере распределения остатков отклоняется.
Для квадратичной модели:
 |  | | |  |  |  | |
| 1 | 4,9 | 4,3262 | 0,5738 | 0,32924644 | 0,188921607 | 0,108403 | |
| 2 | 3,2 | 4,5571 | -1,3571 | 1,84172041 | -2,499398768 | 3,391934 | 3,72837481 |
| 3 | 7,1 | 5,807 | 1,293 | 1,671849 | 2,161700757 | 2,795079 | 7,02303001 |
| 4 | 7,6 | 8,0759 | -0,4759 | 0,22648081 | -0,107782217 | 0,051294 | 3,12900721 |
| 5 | 10 | 11,3638 | -1,3638 | 1,85995044 | -2,53660041 | 3,459416 | 0,78836641 |
| 6 | 18 | 15,6707 | 2,3293 | 5,42563849 | 12,63793973 | 29,43755 | 13,63898761 |
| 7 | 20 | 20,9966 | -0,9966 | 0,99321156 | -0,989834641 | 0,986469 | 11,06161081 |
| сумма | 0,0027 | 12,34809715 | 8,854946062 | 40,23015 | 39,36937686 |
