Содержание
Введение………………………………………………………..2
Задание №1…………………………………………………….4
Задание №2…………………………………………………….5
Задание №3…………………………………………………….9
Задание №4…………………………………………………….13
Задание №5…………………………………………………….14
Задание №6…………………………………………………….18
Задание №7…………………………………………………….20
Задание №8…………………………………………………….23
Задание №9…………………………………………………….27
Задание №10…………………………………………………...28
Список использованной литературы………………………41
Введение
Теорией вероятностей называется математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдаемые в случайных явлениях.
При научном изучении и описании окружающего мира часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые принято называть случайными. Для них характерна большая по сравнению с другими степень неопределенности, непредсказуемости. Случайное явление — это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.
Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при его повторении результаты полностью и в точности совпадали. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют каждому закономерному явлению. Тем не менее в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, «модель», и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все больше, научный прогноз — все точнее. Это — классическая схема так называемых «точных наук» — от условий опыта к его однозначному результату.
Однако для решения ряда задач такая схема оказывается плохо приспособленной. Это — те задачи, где интересующий нас результат опыта существенно зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть их все. В этих задачах многочисленные второстепенные факторы так тесно связаны с результатом опыта, что ничтожное, на первый взгляд, их изменение может сыграть решающую роль, обусловить «успех» или «неуспех» опыта. В таких случаях классическая схема точных наук — детерминистская — оказывается непригодной.
Методы теории вероятностей не отменяют и не упраздняют случайности, непредсказуемости исхода отдельного опыта, но дают возможность предсказать, с каким-то приближением, средний суммарный результат массы однородных случайных явлений. Чем большее количество однородных случайных явлений фигурирует в задаче, тем отчетливее выявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осуществлять научный прогноз.
Характерным для современного этапа развития науки является все более широкое применение вероятностных методов во всех ее областях. Это связано с двумя причинами. Во-первых, изучение явлений окружающего мира, становясь более глубоким, требует выявления не только основных закономерностей, но и возможных случайных отклонений от них. Во-вторых, наука все больше внедряется в такие области практики, где наличие и большое влияние именно случайности не подлежит сомнению, а иногда даже является определяющим.
В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятностные методы. В одних науках в силу специфики предмета и исторических условий эти методы находят применение раньше, в других — позднее.
Знакомство с методами теории вероятностей необходимо сегодня каждому грамотному менеджеру, и не только ему. На сегодняшний день, нет области знаний, где не могли бы сказать свое слово эти методы исследования.
Задание 1
Налоговая инспекция из общего числа N малых предприятий (x1, x2,…, xN), имеющих учетные номера 1,2,3,…N, для проверки отбирает случайным образом K предприятий, номера которых затем располагает в возрастающем порядке: x1 < x2<,…,< xk . Вычислить вероятность того, что под номером j в ранжированном ряду будет предприятие с учетным номером L.
Дано: N=60; K=17; J=15; L=52
Найти: Р(А)-?
Решение:
Обозначим событием А то, что под номером 15 в ранжированном ряду окажется предприятие с учетным номером 52.
Так как из общего числа исходов нас интересует число благоприятствующих исходов и поскольку налоговая служба отбирает предприятия для проверки случайным образом, то отборы равновозможны. Поэтому для определения вероятности воспользуемся классическим способом. Воспользуемся элементами комбинаторного анализа и формулой гипергеометрического распределения.
Число благоприятствующих исходов:
Способов выбрать К предприятий из N предприятий:
Ответ:
вероятность того, что в ранжированном ряду под номером 15 будет предприятие с учетным номером 52 равна: Р(А)=0,324049.
На плоскости проведены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии 2h. На плоскость случайным образом (на удачу) бросается тонкий стержень (игла) длиной 2l (l<h).Появление центра на отрезке 2h в любой его точке равновозможно, как и появление любого значения угла φ между стержнем и прямой на интервале (0,π).
Попадание центра стержня на отрезок 2h и угловая ориентация φ стержня – события независимые. Требуется при заданных исходных данных 2h и 2l:
1.Определить вероятность того, что стержень пересечёт какую-либо прямую.
2.Методом статистических испытаний определить эмпирическое значение числа π при заданных h,l и числе испытаний n ≥100. Описать опыт и представить таблицу результатов испытаний.
Дано: 2h=80; 2l=62
Решение:
Обозначим:
Событие А – игла пересекла какую-либо прямую
Введем обозначение Х – расстояние от середины иглы до ближайшей прямой
Угол φ – угол, составленный иглой с параллелью
1.Определим вероятность Р(А)
Положение иглы полностью определяется заданием Х и φ, причем Х принимает значение от 0 до h, возможные значения φ от 0 до π. Другими словами середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами h и φ.
№ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
А | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
№ | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
А | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
№ | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
А | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
№ | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 |
А | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
№ | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
А | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
№ | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 |
А | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
№ | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 |
А | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
№ | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 |
А | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
№ | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 |
А | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
№ | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 |
А | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
№ | 101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 110 |
А | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
№ | 111 | 112 | 113 | 114 | 115 | 116 | 117 | 118 | 119 | 120 |
А | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
№ | 121 | 122 | 123 | 124 | 125 | 126 | 127 | 128 | 129 | 130 |
А | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
№ | 131 | 132 | 133 | 134 | 135 | 136 | 137 | 138 | 139 | 140 |
А | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
№ | 141 | 142 | 143 | 144 | 145 | 146 | 147 | 148 | 149 | 150 |
А | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
№ | 151 | 152 | 153 | 154 | 155 | 156 | 157 | 158 | 159 | 160 |
А | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
№ | 161 | 162 | 163 | 164 | 165 | 166 | 167 | 168 | 169 | 170 |
А | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
№ | 171 | 172 | 173 | 174 | 175 | 176 | 177 | 178 | 179 | 180 |
А | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
№ | 181 | 182 | 183 | 184 | 185 | 186 | 187 | 188 | 189 | 190 |
А | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
№ | 191 | 192 | 193 | 194 | 195 | 196 | 197 | 198 | 199 | 200 |
А | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Событие А наступило в 99 испытаниях. Статистическим способом найдем вероятность наступления события А.