Смекни!
smekni.com

Сущность теории вероятностей (стр. 1 из 7)

Содержание

Введение………………………………………………………..2

Задание №1…………………………………………………….4

Задание №2…………………………………………………….5

Задание №3…………………………………………………….9

Задание №4…………………………………………………….13

Задание №5…………………………………………………….14

Задание №6…………………………………………………….18

Задание №7…………………………………………………….20

Задание №8…………………………………………………….23

Задание №9…………………………………………………….27

Задание №10…………………………………………………...28

Список использованной литературы………………………41

Введение

Теорией вероятностей называется математическая наука, изу­чающая закономерности в случайных явлениях. Ее предметом являются специфические закономерности, наблюдае­мые в случайных явлениях.

При научном изучении и описании окружающего мира часто приходится встречаться с особого типа явлениями, которые при­нято называть случайными. Для них характерна большая по срав­нению с другими степень неопределенности, непредсказуемости. Случайное явление — это такое явление, которое при неоднократ­ном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному.

Совершенно очевидно, что в природе нет ни одного явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы слу­чайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы усло­вия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при его повторе­нии результаты полностью и в точности совпадали. Случайные от­клонения неизбежно сопутствуют каждому закономерному явле­нию. Тем не менее в ряде практических задач этими случайными элементами можно пренебречь, рассматривая вместо реального явления его упрощенную схему, «модель», и предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. По мере развития науки число учитываемых факторов становится все больше, науч­ный прогноз — все точнее. Это — классическая схема так называе­мых «точных наук» — от условий опыта к его однозначному ре­зультату.

Однако для решения ряда задач такая схема оказывается плохо приспособленной. Это — те задачи, где интересующий нас резуль­тат опыта существенно зависит от столь большого числа факторов, что практически невозможно зарегистрировать и учесть их все. В этих задачах многочисленные второстепенные факторы так тесно связаны с результатом опыта, что ничтожное, на первый взгляд, их изменение может сыграть решающую роль, обусловить «успех» или «неуспех» опыта. В таких случаях классическая схема точных наук — детерминистская — оказывается непригодной.

Методы теории вероятностей не отменяют и не упраздняют случайности, непредсказуемости исхода отдельного опыта, но да­ют возможность предсказать, с каким-то приближением, средний суммарный результат массы однородных случайных явлений. Чем большее количество однородных случайных явлений фигурирует в задаче, тем отчетливее выявляются присущие им специфические законы, тем с большей уверенностью и точностью можно осущест­влять научный прогноз.

Характерным для современного этапа развития науки является все более широкое применение вероятностных методов во всех ее областях. Это связано с двумя причинами. Во-первых, изучение явлений окружающего мира, становясь более глубоким, требует выявления не только основных закономерностей, но и возможных случайных отклонений от них. Во-вторых, наука все больше вне­дряется в такие области практики, где наличие и большое влияние именно случайности не подлежит сомнению, а иногда даже явля­ется определяющим.

В настоящее время нет практически ни одной области науки, в которой в той или иной степени не применялись бы вероятност­ные методы. В одних науках в силу специфики предмета и истори­ческих условий эти методы находят применение раньше, в дру­гих — позднее.

Знакомство с методами теории вероятностей необходимо сего­дня каждому грамотному менеджеру, и не только ему. На сегодняшний день, нет об­ласти знаний, где не могли бы сказать свое слово эти методы ис­следования.

Задание 1

Налоговая инспекция из общего числа N малых предприятий (x1, x2,…, xN), имеющих учетные номера 1,2,3,…N, для проверки отбирает случайным образом K предприятий, номера которых затем располагает в возрастающем порядке: x1 < x2<,…,< xk . Вычислить вероятность того, что под номером j в ранжированном ряду будет предприятие с учетным номером L.

Дано: N=60; K=17; J=15; L=52

Найти: Р(А)-?

Решение:

Обозначим событием А то, что под номером 15 в ранжированном ряду окажется предприятие с учетным номером 52.

Так как из общего числа исходов нас интересует число благоприятствующих исходов и поскольку налоговая служба отбирает предприятия для проверки случайным образом, то отборы равновозможны. Поэтому для определения вероятности воспользуемся классическим способом. Воспользуемся элементами комбинаторного анализа и формулой гипергеометрического распределения.

Число благоприятствующих исходов:

Способов выбрать К предприятий из N предприятий:

Ответ:

вероятность того, что в ранжированном ряду под номером 15 будет предприятие с учетным номером 52 равна: Р(А)=0,324049.

Задание 2

На плоскости проведены параллельные прямые, отстоящие друг от друга на расстоянии 2h. На плоскость случайным образом (на удачу) бросается тонкий стержень (игла) длиной 2l (l<h).Появление центра на отрезке 2h в любой его точке равновозможно, как и появление любого значения угла φ между стержнем и прямой на интервале (0,π).

Попадание центра стержня на отрезок 2h и угловая ориентация φ стержня – события независимые. Требуется при заданных исходных данных 2h и 2l:

1.Определить вероятность того, что стержень пересечёт какую-либо прямую.

2.Методом статистических испытаний определить эмпирическое значение числа π при заданных h,l и числе испытаний n ≥100. Описать опыт и представить таблицу результатов испытаний.

Дано: 2h=80; 2l=62

Решение:

Обозначим:

Событие А – игла пересекла какую-либо прямую

Введем обозначение Х – расстояние от середины иглы до ближайшей прямой

Угол φ – угол, составленный иглой с параллелью

1.Определим вероятность Р(А)

Положение иглы полностью определяется заданием Х и φ, причем Х принимает значение от 0 до h, возможные значения φ от 0 до π. Другими словами середина иглы может попасть в любую из точек прямоугольника со сторонами h и φ.

Таким образом данный прямоугольник можно рассматривать как фигуру G, точки которой представляют собой все возможные положения центра иглы. Площадь фигуры G=h*π

Найдем теперь такую фигуру g, каждая точка которой благоприятствует появлению события А, т.е.каждая точка которой может служить серединой иглы, которая пересекает ближайшую к ней параллель при условии, что

X<l*sin φ т.е.если середина попадет в любую из точек заштрихованной фигуры на рисунке.

Таким образом заштрихованную фигуру можно рассматривать как фигуру g. Найдем площадь этой фигуры:

g=

P(A)=

P(A)=0.4936

Значит, вероятность того, что игла пересечет какую-либо прямую равна 0.4936.

2.Методом статистических испытаний определим эмпирическое значение числа

. Я буду проводить опыт с бросанием иглы 200 раз. Если игла пересечет какую-либо прямую(событие А) то вероятность данного опыта – 1, если не пересечет то вероятность данного опыта равна – 0.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
А 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
А 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
А 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
А 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
А 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
А 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
А 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
А 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
А 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
А 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
А 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0
121 122 123 124 125 126 127 128 129 130
А 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
А 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1
141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
А 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
А 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1
161 162 163 164 165 166 167 168 169 170
А 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1
171 172 173 174 175 176 177 178 179 180
А 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1
181 182 183 184 185 186 187 188 189 190
А 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0
191 192 193 194 195 196 197 198 199 200
А 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0

Событие А наступило в 99 испытаниях. Статистическим способом найдем вероятность наступления события А.