Парадокси в математичній статистиці (стр. 15 из 22)

Такий параметр

можна розглядати як нормально розподілену випадкову величину з математичним сподіванням

і стандартним відхиленням . Отже,

.

Такий вигляд інтервальних оцінок, які називають фідуціальними інтервалами, введено Фішером. У випадку нормального розподілу, як ми бачимо, довірчі і фідуціальні інтервали формально збігаються; відрізняється лише їх "філософія". На протязі деякого часу вважали, що ці два види інтервалів практично збігаються, і суперечки про відмінність між довірчими і фідуціальними інтервалами є чисто теоретичними. Проте незабаром виявилися парадокси, що мають практичне значення. Різні підходи Фішера і Неймана привели і до різних результатів в практичних застосуваннях. У 1959 р. К. Стейн вказав на надзвичайно парадоксальний випадок. Для простоти він розглянув довірчі і фідуціальні інтервали, в яких

або тому, що такі інтервали визначаються одним значенням (іншими кінцем інтервалу).

2.9.2 Парадокс

Нехай

- незалежні нормально розподілені випадкові величини з одиничною дисперсією. Позначимо через їх математичне сподівання. Нехай вектор знаходиться на відстані

від початку координат к Стейн довів, що фідуціальний і довірчий інтервали для

можуть суттєво відрізнятися. Оцінимо кожне відповідним середнім значенням вибірки обсягу . Нехай відстань між початком координат і вектором вибіркових середніх дорівнює

.

Тоді

,

якщо

- випадкова величина (будується довірчий інтервал) і яке б не було значення невідомого параметра .

З іншого боку, якщо

- випадкова величина (будується фідуціальний інтервал), то

для будь - якого вибіркового середнього

. Іншими словами, ймовірність того, що довірчий інтервал містить невідоме значення , більша 50%; в той же час з імовірністю, більшою 50%, випадкова величина знаходиться в (фідуціальному) інтервалі . Таким чином, з точки зору теорії довірчих інтервалів краще ставити на нерівність, а при фідуціальному підході ситуація прямо протилежна.

2.9.3 Пояснення парадоксу

Неможливо показати всі протиріччя між фідуціальним підходом і теорією довірчих інтервалів, які виникають у зв’язку з задачею Стейна. Якщо фідуціальний підхід застосовується не до елементів вибірки, заданими своїми координатами, а (через сферичну симетрію нормального розподілу) до сум квадратів координат, то фідуціальні інтервали співпадають з довірчими інтервалами. Отже, вигідніше ставити на те, що "

більше, ніж ".

2.9.4 Зауваження

2.9.4.1 Побудуємо інтервальну оцінку для невідомого математичного сподівання

нормального розподілу з відомим стандартним відхиленням , використовуючи апріорну інформацію про те, що величина нормально розподілена з математичним сподіванням і стандартним відхиленням (ці величини відомі).

Якщо

- середнє значення вибірки об’єму , то за теоремою Байєса апостеріорний розподіл величини також нормальне з математичним сподіванням

і стандартним відхиленням D, де

Отже,

є 95% інтервальною оцінкою для , оскільки

.

Відсутність апріорної інформації значить, що

, тобто . Таким чином,

це і є фідуціальний інтервал. Отже, у випадку многовимірного нормального розподілу байєсівський підхід приводить до того ж самого парадоксу, що і фідуціальний підхід.

2.9.4.2 Нехай нам треба оцінити параметр зсуву

за вибіркою , елементи якої мають показникові щільність розподілу (якщо і 0 в супротивному разі). Оцінка

незміщена, і її щільність розподілу пропорційна

при . За допомогою цієї щільності можна легко знайти 90% довірчий інтервал найменшої довжини. У випадку, коли цей довірчий інтервал має вигляд .

З іншого боку

, очевидно, менше, ніж .

Таким чином, 90% довірчий інтервал найменшої довжини знаходиться в області, в якій

знаходитися не може! Джейнес підкреслив, що для побудови інтервальної оцінки слід скористатися байєсівським підходом. Якщо апріорна щільність є сталою, то апостеріорна щільність величини буде , якщо і 0 в протилежному випадку. Таким чином, інтервал

,

де

,

задає найменшу апостеріорну зону, яка містить апостеріорну ймовірність з ймовірністю

. Для вказаної вище вибірки отримаємо .

З точки зору теорії довірчих інтервалів можна було б сказати, що

не є достатньою статистикою для , а статистика - достатня. Довірчий інтервал найменшої довжини, побудований за достатньою статистикою, співпадає з байєсівським інтервалом, побудованим вище. Але навіть, якщо ми працюємо з , може виявитися, що 90% довірчий інтервал лежить на від’ємній піввісь, а нам відомо (апріорна інформація), що величина не може бути негативною.