Пошукова робота на тему:
Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання.
План
6.9. Похідні вищих порядків
Нехай функція задана на деякому проміжку і нехай всередині цього проміжку вона має похідну . Тоді може трапитися випадок, що , будучи функцією від, в деякій точці , а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції в точці .
Похідна другого порядку позначається одним із символів:
.
Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто
.
Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку , а потім від похідної знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти , треба функцію продиференціювати два рази.
Приклад. Знайти від функції .
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо : .
Для знаходження цей результат диференціюємо ще раз. Маємо
.
Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом
.
то , як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:
.
Тоді прискорення визначають як похідну першого порядку від швидкості, тобто , але , тому .
Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.
Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку.
Нехай у кожній внутрішній точці проміжку існує похідна другого порядку . Отже, є функція . Припустимо, що в деякій внутрішній точці має похідну першого порядку .
Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів:
.
Отже, за означенням
.
Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати.
Приклад. Знайти від функції .
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо : .
Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо
.
Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:
.
Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна - го порядку і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку , то можна дати означення похідної - го порядку від функції в точці .
Означення. Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної - го порядку називається похідною - го порядку, або - ю похідною, позначається одним із символів:
.
Отже, згідно з означенням похідної - го порядку маємо таку рівність:
,
а звідси й випливає правило знаходження похідної - го порядку: щоб знайти похідну - го порядку, треба функцію продиференціювати послідовно раз.
Зауважимо, що похідні від першого до четвертого порядку позначають так: . Похідні п’ятого, шостого і т. д.
- го порядку: .
6.10. Диференціали вищих порядків
Розглянемо на деякому проміжку функцію , яка на цьому проміжку має похідні до - го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку існує диференціал
.
У подальшому диференціал називатимемо диференціалом першого порядку, або першим диференціалом від функції .
Диференціал першого порядку є функція від і отже, якщо функція є, в свою чергу диференційованою на проміжку , то вона (або, те саме, ) має диференціал. Цей диференціал називають диференціалом другого порядку, або другим диференціалом від функції , і позначають .
Отже, за означенням . Підставимо в цю рівність . Матимемо
.
Оскільки є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку:
. (6.68)
Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, якщо для функції уже означений диференціал - го порядку - й диференціал то диференціалом - го порядку, або - м диференціалом від функції називається диференціал першого порядку від диференціала - го порядку. Диференціал - го порядку визначається символом .
Отже, згідно з означенням
.
Використовуючи формулу диференціала першого порядку, можна вивести таку формулу для диференціала - го порядку:
(6.69)
Приклад. Знайти другий диференціал від функції .
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідні і :
,
Тоді
.
При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції є, в свою чергу, деякою функцією від .
Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.
Нехай маємо складну функцію , де функції і мають похідні за своїми аргументами до другого порядку включно. Тоді має диференціал ,
де - похідна за аргументом , а .
Знайдемо . Згідно з означенням
.
Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то
Остаточно дістанемо таку рівність:
. (6.70)
Порівнюючи формули (6.75) та (6.77), виводимо, що формула диференціала другого порядку змінюється. У формулі (6.70) є новий доданок , який у випадку не дорівнює нулю.
Якщо функція задана параметрично
то її друга похідна обчислюється за формулою
(6.71)