б) 
Рис. 5 − Площадь полной поверхности цилиндра
Если боковую поверхность цилиндра разрезать по образующей FT (рис. 5, а) и развернуть так, чтобы все образующие оказались в одной плоскости, то в результате мы получим прямоугольник FTT1F1, который называется разверткой боковой поверхности цилиндра. Сторона FF1 прямоугольника есть развертка окружности основания цилиндра, следовательно, FF1=2πR, а его сторона FT равна образующей цилиндра, т. е. FT = Н (рис. 5, б). Таким образом, площадь FT∙FF1=2πRH развертки цилиндра равна площади его боковой поверхности.
Если геометрическое тело простое, то есть допускает разбиение на конечное число треугольных пирамид, то его объем равен сумме объемов этих пирамид. Для произвольного тела объем определяется следующим образом.
Данное тело имеет объем V, если существует содержащие его простые тела и содержащиеся в нем простые тела с объемами, сколько угодно мало отличающимися от V.
Применим это определение к нахождению объема цилиндра с радиусом основания R и высотой Н.
При выводе формулы для площади круга были построены такие два n-угольника (один − содержащий круг, другой − содержащийся в круге), что их площади при неограниченном увеличении n неограниченно приближались к площади круга. Построим такие многоугольники для круга в основании цилиндра. Пусть Р − многоугольник, содержащий круг, а Р' − многоугольник, содержащийся в круге (рис. 6).
Рис. 7 − Цилиндр с описанной и вписанной в него призмой
Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р' и высотой Н, равной высоте цилиндра. Первая призма содержит цилиндр, а вторая призма содержится в цилиндре. Так как при неограниченном увеличении n площади оснований призм неограниченно приближаются к площади основания цилиндра S, то их объемы неограниченно приближаются к SН. Согласно определению объем цилиндра
V = SH = πR2H.
Итак, объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту.
2 Практическая часть (задачи)
Осевое сечение цилиндра − квадрат, площадь которого Q.
Найдите площадь основания цилиндра.
Дано: цилиндр, квадрат − осевое сечение цилиндра, Sквадрата = Q.
Найти: Sосн.цил.
Решение:
Сторона квадрата равна
. Она равна диаметру основания. Поэтому площадь основания равна 
.Ответ: Sосн.цил. =
В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
Дано: цилиндр, правильная шестиугольная призма вписанная в цилиндр, радиус основания = высоте цилиндра.
Найти: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра.
Решение: Боковые грани призмы − квадраты, так как сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна радиусу.
Ребра призмы параллельны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым ребром. А это угол равен 45°, так как грани − квадраты.
Ответ: угол между диагональю ее боковой грани и осью цилиндра = 45°.
Высота цилиндра 6см, радиус основания 5см.
Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4см от нее.
Дано: Н = 6см, R = 5см, ОЕ = 4см.
Найти: Sсеч.
Решение:
Sсеч.= КМ×КС,
ОЕ = 4 см, КС = 6 см.
Треугольник ОКМ − равнобедренный (ОК = ОМ = R = 5 см),
треугольник ОЕК − прямоугольный.
Из треугольника ОЕК, по теореме Пифагора:
ЕК =
,КМ = 2ЕК = 2×3 = 6,
Sсеч.= 6×6 = 36 см2.
Ответ: Sсеч.= 36 см2.
Высота цилиндра 12см, радиус основания 10см.
Цилиндр пересечен плоскостью так, что в сечении получился квадрат.
Найдите расстояние от этого сечения до оси.
Дано: СК = h = 12см, R = ОК = ОМ = 10см.
Найти: ОЕ.
Решение:
СК равна высоте, то есть СК = 12 см. Так как в сечении получился квадрат, то КМ = СК = 12см.
ОК − радиус основания, ОК = 10см.
Треугольник ОКЕ – прямоугольный, где ОК = 10см, КЕ = 6см.
По теореме Пифагора:
ОЕ =
Ответ: ОЕ = 8см.
В цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все его вершины лежат на окружностях основания. Найдите сторону квадрата, если высота цилиндра равна 2см, а радиус основания равен 7см.
Дано: цилиндр, h = 2см, R – 7см, АВСD − наклонно вписанный квадрат.
Найти: АВ.
Решение:
Достроим квадрат АВСD до прямого прямоугольного параллелограмма АВС1D1А1В1СD с диагональным сечением АВСD.
Угол АВС1 = 90°. Так как вписанный в окружность угол, стороны которого проходят через две данные точки окружности, равен половине угла между радиусами, проходившими в эти точки, или дополняет половину этого угла до 180°, то АС1 есть диаметр окружности верхнего основания цилиндра.
Рассмотрим прямоугольный треугольник СС1А1 − катет СС1, есть образующая цилиндра и СС1 = 2АС, катет АС1 есть диаметр цилиндра и АС1 = 14. По теореме Пифагора АС =
(см).Из прямоугольного равнобедренного треугольника АВС по теореме Пифагора сторона квадрата АВ =
см.Ответ: АВ = 10 см.
Объем цилиндра 120 см2, его высота 3,6 см.
Найти радиус цилиндра.
Дано: V = 120 см2, h = 3,6 см.
Найти: r
Решение:
а) 
