Ответ: r = 3,3.
Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна
см.
Найдите площадь поверхности цилиндра.
Дано: цилиндр, АВСD − осевое сечение, АВ = АD, ВD =
см.
Найти: Sпов.цил.
Решение:
Из прямоугольного ∆ АВD по теореме Пифагора: ВD2 − 2AB2, откуда сторона квадрата АВ
(см). Поэтому высота цилиндра АВ = 3 см, радиус цилиндра ОА − 1,5 см.
Площадь боковой поверхности Sбок.ц = 2πRH = 2π×1,5×3 = 9π (см2).
Площадь основания Sосн. = 2πR2 = 2π×1,52 = 4,5π (см2).
Площадь полной поверхности Sпов.цил. = Sбок.ц + Sосн. = 9π + 4,5π = 13,5 π (см2).
Ответ: 13,5 π (см2).
Задача 8.
В цилиндр вписана правильная шестиугольная призма.
Найдите отношения объема призмы к объему цилиндра.
Дано: цилиндр, правильная шестиугольная призма вписана в цилиндр, а − сторона призмы.
Найти:
.
Решение:
= 
а6 = R
Ответ:
= 
.Задача 9.
Диаметр основания цилиндра 1м.
Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Дано: цилиндр, d = АВ = 1м.
Найти: Sбок.ц.
Решение:
Sбок. = 2πRh,
R =
= 0,5 м,Sбок. = 2πR × 2πR = (2πR)2 = 4π2 ×0,25 = π2
Ответ: Sбок. = π2 (м2).
Найдите радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в конус, радиус основания которого равен 3.
Дано: конус, цилиндр – вписан в конус, ОВ – радиус конуса, ОВ = 3.
Найти: r − радиус основания цилиндра.
Решение:
Обозначим через h и r высоту и радиус основания цилиндра, вписанного в конус с вершиной A. Рассмотрим осевое сечение конуса – равнобедренный треугольник ABC с высотой AO = H и основанием BC = 2· 3 = 6 (рис.2). Плоскость ABC пересекает цилиндр, вписанный в конус, по его осевому сечению – прямоугольнику KLMN, где точки K и L лежат соответственно на отрезках AB и AC, а точки M и N – на отрезке BC , причём KL = 2r , KN = LM = h . Пусть P – точка пересечения AO и KL . Треугольник APL подобен треугольнику AOC , поэтому
, или 
откуда
. Пусть V(r) – объем цилиндра, где 0 < r < 3 . Тогда 
.Найдем наибольшее значение функции V(r) на промежутке (0;3) .
V'(r) = H(2r - r2) = Hr(2 - r).
Промежутку (0;3) принадлежит единственный корень ( r = 2 ) полученного уравнения. Если 0 < r < 2 , то V'(r) > 0 . Поэтому на промежутке (0;2) функция V(r) возрастает. Если 2 < r < 3 , то V'(r) < 0 . Поэтому на промежутке (2;3) функция V(r) убывает. Значит, в точке r = 2 функция V(r) имеет максимум. Следовательно, радиус основания цилиндра наибольшего объема, вписанного в данный конус, равен 2.
Ответ: r = 2.
Развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной
. Найдите объем цилиндра.Дано: Цилиндр, квадрат – развертка боковой поверхности цилиндра, сторона квадрата =
.Найти: Vцил.
Решение:
Пусть образующая цилиндра АD = h , а радиус основания равен r, объем цилиндра равен V . Поскольку развертка боковой поверхности цилиндра есть квадрат со стороной
длина окружности основания и образующая цилиндра также равны , т.е.
.Следовательно,
.Ответ: V = 2.
Радиус основания цилиндра равен r . Плоскость пересекает боковую поверхность цилиндра, не пересекает его оснований и образует угол α с плоскостью основания. Найдите площадь сечения цилиндра этой плоскостью.
Дано: цилиндр, r – радиус основания цилиндра, угол α.
Найти: Sсеч.ц.
Основание цилиндра есть ортогональная проекция данного сечения на плоскость основания. Следовательно, площадь сечения равна площади основания, делённой на косинус угла между плоскостями сечения и основания, т.е.
.Ответ:
Заключение
Цель данного реферата выполнена, рассмотрено такое геометрическое тело, как цилиндр.
Рассмотрены следующие задачи:
− дано определение цилиндра;
− рассмотрены элементы цилиндра;
− изучены свойства цилиндра;
− рассмотрены виды сечения цилиндра;
− выведена формула площади цилиндра;
− выведена формула объема цилиндра;
− решены задачи с использованием цилиндра.
Список литературы
1. Погорелов А. В. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений, 1995.
2. Бескин Л.Н. Стереометрия. Пособие для учителей средней школы, 1999.
3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Киселева Л. С., Позняк Э. Г. Геометрия: Учебник для 10 – 11 классов общеобразовательных учреждений, 2000.
4. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия: учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, 1998.
5. Киселев А. П., Рыбкин Н. А. Геометрия: Стереометрия: 10 – 11 классы: Учебник и задачник, 2000.
