Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений (стр. 5 из 5)
2.3.2 Решение СЛАУ методом Зейделя
Решить СЛАУ методом Зейделя с точностью
. 
Эту систему можно записать в виде:
В этой системе сразу видно, что выполняется условие, где диагональные элементы матрицы коэффициентов по модулю больше, чем сумма модулей остальных элементов соответствующей строки.
Для удобства преобразуем систему к виду:
Условие сходимости:
, 
Принимаем приближение на 0-ом шаге:
На 1-м шаге выполняем следующее:
Подставляем принятые приближения в первоначальную систему уравнений
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
: 
На 2-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
: 
На 3-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса:
: 
На 4-м шаге выполняем следующее:
Смотрим не выполняется ли условие остановки итерационного процесса
: 
Необходимая точность достигнута на 4-й итерации. Таким образом, итерационный процесс можно прекратить [9].
2.4 Сравнительный анализ
Можно заметить, что в методе Зейделя быстрее мы достигаемой нужной точности, в нашем случае в точность была достигнута на 4-й итерации, когда в методе простых итераций она была достигнута на 6-й итерации. Но в то же время в методе Зейделя ставится больше условий. Поэтому вначале нужно произвести иногда довольно трудоемкие преобразования. В таблице 4.1 приведены результаты решения СЛАУ методом простой итерации и методом Зейделя на различных шагах итерации:
Таблица 4.1 - Результаты решения СЛАУ
| № шага | Метод постой итерации | Метод Зейделя |
| 0 | x1=1.34x2=-1.75x3=0.5x4=0.65 | x1=1.34x2=-1.75x3=0.5x4=0.65 |
| 1 | x1=1.277x2=-1.56227x3=0.3147x4=0.5335 | x1=1.277x2=-1.57047x3=0.3324x4=0.5837 |
| 2 | x1=1.31335x2=-1.6127x3=0.3647x4=0.5884 | x1=1.32469x2=-1.5974x3=0.355808x4=0.58638 |
| 3 | x1=1.315391x2=-1.5935x3=0.34936x4=0.57867 | x1=1.318014x2=-1.5945x3=0.354137x4=0.58556 |
| 4 | x1=1.3173416x2=-1.5968x3=0.35577x4=0.58589 | x1=1.318367x2=-1.59481x3=0.35437x4=0.58554 |
| 5 | x1=1.3179137x2=-1.59467x3=0.35371x4=0.58462 | |
| 6 | x1=1.3181515x2=-1.59506x3=0.35455x4=0.58557 |
Огромное количество численных методов ставит актуальной задачей не столько создание новых, сколько исследование и классификацию старых, выявление лучших. Анализ влияния ошибок показал, что между лучшими методами нет принципиальной разницы с точки зрения устойчивости к ошибкам округления. Создание мощных компьютеров существенно ослабило значение различия между методами (в таких характеристиках, как объём требуемой памяти, количество арифметических операций). В этих условия наиболее предпочтительными становятся те методы, которые не очень отличаются от лучших по скорости и удобству реализации на компьютерах, позволяют решать широкий класс задач как хорошо, так и плохо обусловленных и давать при этом оценку точности вычислительного решения.
В MathCAD и Excel численные методы представляют собой те же самые общепринятые ручные расчёты, но выполняемые не человеком, а компьютером, что понижает возможность ошибки до нуля. Программа на VisualBasic намного упрощает задачу. С помощью единожды созданной программы можно решать системы линейных уравнений, вводя минимум значений. Также эта программа может быть использована не только вами, но и простыми пользователями.
В ходе выполнения дипломной работы был проведен сравнительный анализ численных методов, таких как итерация, интерполяция, метод Эйлера.
В результаты все поставленные задачи были выполнены, цели достигнуты. Мы приобрели навыки в применении различных численных методов на практике. А также были исследованы различные методы.
Теперь перед нами стоит задача в применении приобретенных знаний в своей будущей профессиональной деятельности.
Список литературы:
1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. шк., 2004. 544 с.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 2003. 512 с.
3. Райс Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 2004. 264 с.
4. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 2000. 664 с.
5. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по численным методам. М.: Высш. шк., 2009. 184 с.
6. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Вводные лекции по прикладной математике. М.: Наука, 2004. 190 с.
7. Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 2003. 335 с.
8. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 2006. 320 с.
9. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука,2000.
10. М. Додж, К. Кината, К. Стинсон "Эффективная работа в Microsoft Excel 97", издательство "Питер"; Санкт-Петербург, 2008г.11. Е.К. Овчаренко, О.П. Ильина, Е.В. Балыбердин "Финансово - экономические расчеты в Excel", Москва, 2009 г.12. Йорг Шиб, Excel 7,0: Сотни полезных рецептов, Дюссельдорф-Киев-Москва- Санкт-Петербург, 2007 г.13. Симонович С.В. и др. Информатика Базовый курс: Учеб, для технических вузов. СПБ: Изд. «Питер», 2004.–640с
14. Калиткин Н.Н. и др. Численные методы. М.: Наука, 2002
15. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука, 2007
16. Дьяконов В.П. Система MathCAD. М.: Радио и связь, 2003
17. Р.Ф. Хемминг "Численные методы (для научных работников и инженеров)". - Москва, 2002.
18. А.А. Амосов, А.Ю. Дубинский, Н.В. Копченова "Вычислительные методы для инженеров". - Москва, "Высшая школа", 2004.
19. Ф.В. Формалев, Д.Л. Ревизников "Численные методы". - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
20. Е.А. Волков. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов - М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 2007. - 248 с.