Вычисление характеристических многочленов собственных значений и собственных векторов (стр. 1 из 2)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ

Курсовая работа

по дисциплине «Численные методы»

на тему:

«Вычисление характеристических многочленов, собственных значений и собственных векторов»

Сумы, 2005

Содержание

СОДЕРЖАНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ

ВВЕДЕНИЕ

МЕТОД ДАНИЛЕВСКОГО

УКАЗАНИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ ПРОГРАММЫ

ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ

АНАЛИЗ ПРОГРАММЫ

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Теоретические данные

Введение

Большое количество задач с механики, физики и техники требует нахождение собственных значений и собственных векторов матриц, т.е. таких значений λ, для которых существует нетривиальное решение однородной системы линейных алгебраических уравнений

. Тут А-действительная квадратичная матрица порядка n с элементами a_jk, а --вектор с компонентами x₁, x₂,…, x_n Каждому собственному значению λ_i соответствует хотя бы одно нетривиальное решение. Если даже матрица А действительная, ей собственные числа (все или некоторые) и собственные векторы могут быть недействительными. Собственные числа являются корнями уравнения , где Е - единичная матрица порядка n

или

Данное уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А. Собственным векторам

, которым соответствует собственному значению λ_i, называют ненулевое решение однородной системы уравнений . Таким образом, задача нахождения собственных чисел и собственных векторов сводится к нахождению коэффициентов характеристического уравнения, нахождению его корней и нахождению нетривиального решения системы.

Метод Данилевского

Простой и изысканный метод нахождения характеристического многочлена предложил А.М.Данилевский. Рассмотрим идею метода. Рассмотрим матрицуA

Для которой находится характеристический многочлен, при помощи подобных преобразований преобразуется к матрице

,

которая имеет нормальную форму Фробениуса, то есть матрицаимеет в явном виде в последнем столбце искомые коэффициенты характеристического уравнения. Т. к. подобные матрицы имеют один и тот же характеристический многочлен, а

, то и .

Поэтому для обоснования метода достаточно показать, каким образом из матрицы A строится матрица P.

Подобные преобразования матрицы A к матрице P происходят последовательно. На первом шаге матрица А преобразовывается к подобной до неё матрице А⁽¹⁾, в которой предпоследний столбец имеет необходимый вид. На втором шаге матрица А⁽¹⁾ преобразовывается на подобную к ней матрицу А⁽²⁾, в которой уже два предпоследних столбца имеют необходимый вид, и т.д.

На первом шаге матрица А умножается справа на матрицу

и слева на матрицу ей обратную

Первый шаг даёт

,

где

На втором шаге матрица А⁽¹⁾ умножается справа на матрицу

и слева на обратную к ней матрицу

Очевидно, что элементы матрицы

.

Это означает, что два предпоследних столбца матрицы А⁽²⁾ имеют необходимый вид. Продолжая этот процесс, после n-1 шагов придем к матрице

,

которая имеет форму Фробениуса и подобная к входной матрице А. При этом на каждом шаге элементы матрицы А^(j) находятся по элементам матрицы А^(j-1) также, как мы находили элементы матрицы А⁽²⁾ по элементам А⁽¹⁾. При этом предпологается, что все элементы

отличные от нуля. Если на j-ом шаге окажется, что , то продолжать процесс в таком виде не будет возможно. При этом могут возникнуть два случая:

1. Среди элементов

есть хотя бы один, отличный от нуля, например . Для продолжения процесса поменяем в А^(j) местами первый и -й строчки и одновременно 1-й и -й столбцы. Такое преобразование матрицы А^(j) будет подобным. После того, как получим матрицу , процесс можно продолжать, т.к. столбцы матрицы А^(j),приведённые к необходимому виду не будут испорчены.

2. Все элементы

равны нулю. Тогда матрица А^(j) имеет вид , где F- квадратичная матрица порядка j, которая имеет нормальный вид Фробениуса; В—квадратная матрица порядка n-j, но , то есть характеристический многочлен матрицы F является делителем характеристического многочлена матрицы А. Для нахождения характеристического многочлена матрицы А необходимо еще найти характеристический многочлен матрицы В, для которой используем этот же метод.

Подсчитано, что количество операций умножения и деления, необходимых для получения характеристического многочлена матрицы порядка n составляет n(n-1)(2n+3)/2.

На данном этапе работы мы получили характеристический полином, корнями которого будут собственные числа матрицы А. Процедура нахождения корней полинома n-ой степени не проста. Поэтому воспользуемся пакетом MathCAD Professional для реализации данной задачи. Для поиска корней обычного полинома р(х) степени n в Mathcad включена очень удобная функция polyroots(V). Она возвращает вектор всех корней многочлена степени n, коэффициенты которого находятся в векторе V, имеющим длину равную n+1. Заметим, что корни полинома могут быть как вещественными, так и комплексными числами. Таким образом мы имеем собственные числа, при помощи которых мы найдём собственные векторы нашей матрицы А. Для нахождения собственных векторов воспользуемся функцией eigenvec(A,v_i), где А-исходная матрица, v_i-собственное число, для которого мы ищем собственный вектор. Данная функция возвращает собственный вектор дня v_i.

Указания по применению программы

Данная курсовая работа выполнена на языке программирования Pascal. В курсовую работу входит файлdanil.exe. Danil.exe предназначен для нахождения характеристического полинома методом Данилевского. Входными параметрами является размерность матрицы и сама матрица, а выходным — характеристический полином.

Программная реализация

Программный кодпрограммы danil.exe

uses wincrt;

label 1;

type mas=array[1..10,1..10]of real;

var A,M,M1,S:mas;

z,max:real;

f,jj,tt,ww,v,h,b,y,i,j,w,k,e,l,q,x,u:byte;

p,o:array[1..10]of real;

t:array [1..10]of boolean;

procedure Umnogenie(b,c:mas; n:byte; var v:mas);

var i,j,k:byte;

begin

for i:=1 to n do

for j:=1 to n do

begin

v[i,j]:=0;

for k:=1 to n do

v[i,j]:=b[i,k]*c[k,j]+v[i,j];

end;

end;

procedure dan(n:byte; var a:mas);

label 1,2;

var y:byte;

begin

For y:=1 to n-1 do

begin

if a[1,n]=0 then

begin

if y>1 then begin

max:=abs(a[1,n]);

w:=1;

for i:=1 to n-y do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; end;

if max=0 then

begin

for l:=n downto n-y+1 do

begin

p[f]:=a[l,n];

t[f]:=false;

f:=f-1;

end;

t[f+1]:=true;

x:=x+1;

u:=n-y;

if y=n-1 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end

else

begin

max:=abs(a[1,2]);

w:=1;e:=2;

for i:=1 to n-1 do

if abs(a[i,n])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=i; e:=n; end;

for j:=2 to n do

if abs(a[1,j])>max then begin max:=abs(a[i,j]); w:=1; e:=j; end;

if abs(a[n,1])>max then begin max:=abs(a[n,1]); w:=n; e:=1; end;

if max=0 then

begin

o[q]:=a[n,n];

q:=q+1;

u:=n-1;

if n=2 then begin o[q]:=a[1,1]; q:=q+1; o[q]:=a[n,n]; q:=q+1; end else dan(u,a);

goto 2;

end;

if (w>1) and (e=n) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[w,j];

a[w,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];

a[k,1]:=a[k,w];

a[k,w]:=z;

end;

goto 1;

end;

if (w=n) and (e=1) then

begin

for j:=1 to n do

begin

z:=a[1,j];

a[1,j]:=a[n,j];

a[n,j]:=z;

end;

for k:=1 to n do

begin

z:=a[k,1];