Вычисление собственных чисел и собственных функций опрератора Штурма-Лиувилля на полуоси (стр. 2 из 2)

ТЕОРЕМА 2.1 Справедлива асимптотическая формула собственных чисел задачи на полуоси

, (2.3)

где

[1] .

Справедливость теоремы 2.1 следует из следствия 1.1.

ТЕОРЕМА 2.2 Справедливо неравенство:

. (2.4)

Доказательство теоремы 2.2 можно провести с помощью функций распределения собственных чисел (см. [2]) или с помощью метода, предложенного в первой части работы, и следствия 1.1.

Замечание В случае полуограниченного оператора (

), данный выбор краевых условий позволяет получать лишь верхнюю и нижнюю оценку собственных чисел.

Следствие 2.1

, где - длина промежутка .

Пример

.

Известно, что

, где вычисляется явно. Из следствия 2.1 следует:

.

III. Сингулярная задача. Случай

.

Будем рассматривать задачу

, (2.1)

. (2.2)

Имеет место следующая (см. [3])

ТЕОРЕМА 3.1 Пусть потенциальная функция

удовлетворяет следующим условиям

;

, при ;

сохраняет знак для больших ;

, где , при ;

.

Тогда спектр оператора

- чисто дискретный и состоит из двух серий собственных чисел, уходящих на и .

Аналогично (как и для полуограниченного оператора) задача на полуоси для расчета собственных чисел

заменяется на регулярную задачу, т.е. интервал заменяется на , где - достаточно большое положительное число с дополнительным краевым условием . Нетрудно установить, что погрешность приближенных собственных чисел неполуограниченного оператора (при ) стремится к нулю при . С помощью решения регулярной задачи доказывается следующая

ТЕОРЕМА 3.2 Пусть выполнены все условия теоремы 3.1. Тогда если

- собственные числа задачи (2.1)-(2.2) на конечном промежутке с дополнительным краевым условием , то справедливо равенство для всех .

Замечание 1 Известны более общие условия дискретности спектра задачи (2.1)-(2.2) (см. например [4]).

Замечание 2 Для расчета собственных чисел

задачи (2.1)-(2.2), промежуток заменяется на , где - достаточно большое положительное число, с краевыми условиями и .

IV. Сингулярная задача. Случай

.

Будем рассматривать задачу

, (3.1)

(3.2)

с дополнительными условиями:

;

голоморфна в точке , причем ;

при монотонно, и , где ;

при , .

Данная задача рассматривалась в работе Е.ПЖидкова. и А.Г.Соловьева (см. [5]). Известно, что задача имеет собственные числа и собственные функции такие, что все ее собственные числа простые, отрицательные и образуют бесконечно возрастающюю последовательность

с единственной предельной точкой , а собственные функции , отвечающие собственным значениям , имеют в интервале в точности нулей. В этом случае справедливы все результаты, полученные для случая полуограниченного оператора.

Пример

.

Известно (см. [3]), что

- собственные числа.

Введем обозначения:

- приближенные собственные числа, полученные Е.П.Жидковым и А.Г.Соловьевым, а - приближенные собственные числа, полученные методом, описанным выше. Были рассчитаны собственные числа, которые представлены в таблице (см. ниже). Используя асимптотическую формулу (2.3), можно показать (достаточно грубая оценка), что

,

где

вычисляется явно. Для более точной асимптотики необходимо точно решить уравнение

.

n				Промежуток
1	0.2500	0.25000…	0.247…			(1.16,6.82)
2	0.1111	0.11107…	0.111…			(1.06,16.9)
3	0.0625	0.06249…	0.063…			(1.03,30.9)
4	0.0400	0.39995…	0.041…			(1.02,48.9)
5	0.0277	0.0277715	0.028…			(1.01,70.9)

Список литературы

Митрохин С.И. // ДАН. 1997. Т. 356. № 1. С. 13-15.

Рид, Саймон. Методы современной математической физики. М.: Мир, 1977. Т. 1, 4

Титчмарш. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка. Т. 1. М.: Наука, 1960. 276 с.

Султанаев Я.Т. // ДАН. 1984. Т. 276. № 5. С. 1072-1074.

Жидков Е.П., Соловьев А.Г. // ЖВММФ. 1999. Т. 39. № 3. С. 1098-1118.

[1] Вопрос о том, как находить значения

для расчета собственных чисел, остается нерешенным