Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя (стр. 1 из 2)
Міністерство охорони здоров’я України
Житомирський фармацевтичний коледж
ім. Г.С. Протасевича
Реферат
на тему:
“Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя”
Роботу виконала
Студентка 211 групи
Піщук Олеся
Викладач:
Виговська В.Г.
Отриманий бал:
_____________
м. Житомир – 2006
План
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
1) Правило Лопіталя.
а) Наслідок.
б) Приклад 1.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0.
а) Приклад 2.
б) Приклад 3.
в) Приклад 4.
Список використаної літератури.
І. Розкриття невизначеностей з використанням правила Лопіталя.
Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французький математик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику під керівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальному обчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правило знаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, він створив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження і розвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометрії і механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.
1. Правило Лопіталя.
Нехай виконані умови:
1. функції f(х) та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0;
2. частка цих функцій
в точці х0 має невизначеність вигляду 
або 
;3. існує
.Тоді існує
і виконує рівність: 
(1)а) Наслідок.
Нехай:
1. Визначені в колі точки х0 функції f(х), g(х) та їх похідні до n-го порядку включно;
2. Частки
, 
, …, 
мають невизначеність вигляду або ;3. Існує
, тоді 
(2)б) Приклад 1.
Знайти:
.Розв’язання:
Функції
та 
визначені з усіма своїми похідними в околі точки х=0.Маємо:
.2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00; ∞0.
Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеності до невизначеностей вигляду
або , які можна розкривати з використанням правила Лопіталя.1. Нехай
і 
, тоді 
(3)За умовою
при 
, тому 
при .Якщо
не прямує до 0 при , то границя в правій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.Якщо
при , то вираз 
має невизначеність .2. Нехай
, , тоді 
має невизначеність вигляду 
при .В цьому випадку поступають так:
Під знаком останньої границі маємо невизначеність
.3. Нехай
, 
при . Тоді 
має невизначеність вигляду 
.Позначимо
. Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо: 
Отже, обчислення натурального логарифма границі
зводиться до розкриття невизначеності вигляду .4. Невизначеності вигляду
та 
зводять до невизначеностей або шляхом логарифмування аналогічно до невизначеності вигляду .а) Приклад 2.
Знайти границю
.Розв’язання:
Функції
та 
диференційовані, а їх частка 
має невизначеність вигляду при 
.Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
.б) Приклад 3.
Знайти границю
.Розв’язання:
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду
. Позначимо 
і про логарифмуємо цю рівність. Одержимо: 
, тобто невизначеність вигляду . Використовуючи правило Лопіталя, одержимо: 
.Отже,
.в) Приклад 4.
Знайти границю
.В цьому випадку маємо невизначеність вигляду
. Нехай 
. Логарифмуючи цю рівність, одержимо: 
.Чотири рази застосували правило Лопіталя.
Отже, маємо:
