Беселеві функції (стр. 2 из 6)

. (6)

Якщо

(ціле негативне число), то функція, обумовлена формулою (5) (з огляду на, що дорівнює нулю для …), приймає вид:

(5```)

або, після заміни індексу підсумовування

на ,

, (7)

звідки видно, що

задовольняє разом з рівнянню Беселя

.

Але формула (6) у випадку цілого

вже не дає загального рішення рівняння (4).

Думаючи

( – не ціле) (8)

і доповнюючи це визначення для

(ціле число) формулою:

, (8`)

одержимо функцію

, що задовольняє рівнянню Беселя (4) і у всіх випадках лінійно незалежну від (у випадку , де – ціле). Функція називається беселевою функцією другого роду з індексом . Загальне рішення рівняння Беселя (4) можна записати у всіх випадках у вигляді:

. (9)

2. Формули приведення для Беселевих функцій

Маємо:

; ;

, ;

.

Отже,

. (10)

Таким чином, операція

(що складається в диференціюванні з наступним множенням на ), застосована до , підвищує в цьому вираженні індекс на одиницю й міняє знак. Застосовуючи цю операцію раз, де – будь-яке натуральне число, одержуємо:

. (10`)

Маємо:

;

Отже,

. (11)

Таким чином, операція

, застосована до , знижує в цьому вираженні індекс на одиницю. Застосовуючи цю операцію раз, одержуємо:

. (11`)

З виведених формул можна одержати деякі наслідки. Використовуючи (10), одержимо:

; ; .

Звідси, зокрема, треба, що

. Використовуючи (11), одержимо:

; ; .

По членне додавання й вирахування отриманих рівностей дає:

, (12)

. (13)

Формула (13) дозволяє виразити всі Беселеві функції із цілими індексами через

, . Дійсно, з (13) знаходимо (думаючи ):

, (13`)

звідки послідовно одержуємо:

,

, …………………

3. Беселеві функції з напівцілим індексом

Беселеві функції, загалом кажучи, є новими трансцендентними функціями, що не виражаються через елементарні функції. Виключення становлять Беселеві функції з індексом

, де – ціле. Ці функції можуть бути виражені через елементарні функції.

Маємо:

,

,

отже,

.

Але

, значить:

. (14)

Далі

,

,

отже,

.

Але

, тому

. (15)

За допомогою (10') знаходимо:

,

а з огляду на (14)

,

отже, при цілому позитивному

. (14`)

За допомогою (11') знаходимо:

,

але в силу (15)

,

і, отже, при цілому позитивному

. (15`)

4. Інтегральне подання Беселевих функцій із цілим індексом

Виробляюча функція системи функцій

Розглянемо систему

функцій (з будь-якою загальною областю визначення), пронумерованих за допомогою всіх цілих чисел:

Складемо ряд

,

де

– комплексна змінна. Припустимо, що при кожному (приналежному області визначення розглянутих функцій) цей ряд має кільце збіжності, що містить усередині себе одиничну окружність . Зокрема, це кільце може являти собою повну площину комплексної змінної без крапок 0 і?.