Беселеві функції (стр. 3 из 6)

Функція

(16)

(де x лежить в області визначення функцій системи

, – усередині кільця збіжності, що відповідає розглянутому значенню ) називається виробляючою функцією системи .

Обернено, нехай задана функція

, де пробігає деяку множину, перебуває усередині деякого кільця, що залежить від , із центром 0 і утримуючого усередині себе одиничну окружність. Тоді, якщо при кожному аналітичне відносно усередині відповідного кільця, тобто виробляюча функція деякої системи функцій. Справді, розклавши при кожному функцію в ряд Лорана по ступенях :

,

знайдемо, що система коефіцієнтів

цього ряду буде шуканою системою .

Формули для коефіцієнтів ряду Лорана дозволяють виразити функції

розглянутої системи через виробляючу функцію. Застосовуючи ці формули й перетворюючи потім інтеграл уздовж одиничної окружності в простий інтеграл, одержимо:

. (17)

Виробляюча функція системи Беселевих функцій із цілими індексами

Покажемо, що для системи Беселевих функцій першого роду із цілими індексами

( …) виробляюча функція є:

.

Маємо:

, ,

звідки після по членного перемножування цих рівностей знайдемо:

(тому що в передостанній внутрішній сумі

й були зв'язані залежністю , то ми могли покласти , одержавши підсумовування по одному індексі ). В останній внутрішній сумі підсумовування виробляється по всіх цілих , для яких , отже, при це буде ; при це буде . Таким чином, у всіх випадках внутрішня сума є в силу формул (5`) і (5```). Отже,

, (18)

але це й доводить, що

є виробляюча функція для системи .

Виведемо деякі наслідки з формули (18). Думаючи в ній

, одержимо:

,

звідки після поділу дійсної й мнимої частини (з огляду на, що

)

(18`)

(18``)

Заміняючи в (18`) і (18``)

на , знайдемо:

, (18```)

. (18````)

Інтегральне подання Jn(x)

Тому що, по доведеному, при

маємо , те по формулі (17) одержуємо (використовуючи в перетвореннях формули Ейлера):

де прийнято в увагу, що

є парна функція від є непарна функція від . Отже, доведено, що для будь-якого цілого числа

. (19)

Формула (19) дає подання Беселевих функцій із цілим індексом у вигляді певного інтеграла, що залежить від параметра

. Ця формула називається інтегральним поданням Беселя для , права частина формули називається інтегралом Беселя. Зокрема, при знайдемо:

. (19`)

5. Ряди Фур'є-Беселя

Розглянемо на якому-небудь інтервалі

(кінцевому або нескінченному) два диференціальних рівняння

, , (20)

де

й – безперервні функції на . Нехай і – ненульові рішення цих рівнянь. Множення на й на й наступне вирахування дають

.

Нехай

і належать і , тоді після інтегрування в межах від до одержимо

. (21)

Якщо

й – сусідні нулі рішення , то між і зберігає постійний знак, нехай, наприклад, на ( , ) (у противному випадку варто замінити на ), тоді , (рівність нулю виключено, тому що – ненульове рішення диференціального рівняння другого порядку). Якщо на , то повинна, принаймні, раз звертатися в нуль між і , тому що інакше збереже постійний знак на ( , ). Нехай, наприклад, на ( , ) (у противному випадку заміняємо на ), і тоді з (21) одержимо протиріччя, тому що ліва частина ≤0, а права >0. У такий спосіб доведена теорема порівняння Штурму: якщо P(x)<Q(x) на розглянутому інтервалі I і якщо y і z – ненульові рішення рівнянь (20), те між кожними двома сусідніми нулями y(x) перебуває принаймні один нуль z(x).