Беселеві функції (стр. 4 из 6)

З теореми порівняння Штурму випливають нижченаведені наслідки. Якщо

на , то кожне ненульове рішення рівняння може мати на не більше одного нуля (це легко бачити, якщо покласти й взяти ). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів і ( ) кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти , взяти й помітити, що нулями будуть тільки числа виду , ціле). Якщо на (де ), то для всяких двох сусідніх нулів кожного ненульового рішення рівняння маємо (це легко бачити, якщо покласти й взяти ). Із сказаного випливає, що якщо на , те для всяких двох сусідніх нулів і ( ) кожного ненульового рішення рівняння маємо .

Викладене показує, що якщо

безперервно на й перевищує деяке позитивне число поблизу +∞, те кожне ненульове рішення рівняння має на нескінченно багато нулів. Якщо ще поблизу не звертається в нуль, то ці нулі утворять нескінченну зростаючу послідовність , що має межею +∞, а якщо, крім того, , де , те .

Розглянемо рівняння Беселя

на інтервалі

. Підстановка приводить до рівняння

.

Очевидно,

і мають ті самі нулі. Тому що , де – ціла функція, то не має нулів на при досить малому , і тому що при , те при кожному нулі на утворять нескінченну зростаючу послідовність

причому

.

Якщо

, то задовольнить рівнянню

на інтервалі (0, +∞). Підстановка

приводить до рівняння

і, отже,

задовольняє цьому рівнянню. Таким чином, при будь-яких позитивних і маємо

, де ,