Беселеві функції (стр. 6 из 6)
,де перший доданок правої частини
є 
при 
, а інтеграл у другому мажорирується інтегралом, що складається при нижній межі 
,який сходиться, тому що
при 
;отже, другий доданок є теж
при .Отже, маємо:
при . (28)З (26), (27), (28) одержуємо шукане асимптотичне подання:
при . (29)Із цієї формули, переходячи до сполучених величин, знайдемо ще:
при . (29')Формули (29) і (29`) вірні й для функцій
.Висновок асимптотичної формули для Jn(x)
Заміняючи
на 
, одержимо: 
(з огляду на, що
є парна функція від , а 
є непарна функція від ). Підстановка 
дає: 
,де
є, мабуть, поліном n-й ступеня (поліном Чебишева), тому що з формули Муавра видно, що 
є поліном n-й ступеня відносно 
. Але 
і, заміняючи в першому із цих інтегралів
на 
, одержимо: 
Тому що
й 
на 
мають похідні всіх порядків, то до двох останніх інтегралів застосовні формули (29) і (29`), і ми одержуємо: 
;але
; 
, отже,
.Отже, маємо шукане асимптотичне подання беселевої функції першого роду із цілим індексом для більших значень аргументу:
при . (30)Ця формула показує, що
з точністю складається до порядку, що, 
є загасаючою гармонікою із хвилею постійної довжини й амплітудою, що убуває обернено пропорційно квадратному кореню з абсциси.Зокрема,
при ; (30`) 
при . (30'')Графіки цих функцій зображені ні малюнках 1 і 2.
Розглянемо кілька прикладів рішення рівняння Беселя.
1. Знайти рішення рівняння Беселя при
,задовольняючим початковим умовам при
, 
і 
.Рішення.
На підставі формули (5') знаходимо одне приватне рішення:
.2. Знайти одне з рішень рівняння:
, 
.Рішення.
Зробимо заміну
.При
одержимо: 
.При
будемо шукати рішення у вигляді узагальненого статечного ряду: 
.Рівняння на
має вигляд 
; 
, 
, 
, 
, тому 
, 
, 
. 
Рисунок 1 – Графік функції y=J0 (x)
Рисунок 2 – Графік функції y=J1 (x)
Висновок
Розглянуті усі рішення рівнянь, які можуть бути представлені у вигляді добутку трьох функцій. Складені графіки функцій.
Список літератури
1. Пискунов Н.С. Диференціальне й інтегральне вирахування, навчальний посібник для вузів. – К., 2003
2. Романовський П. І. «Ряди Фур'є. Теорія поля. Аналітичні й спеціальні функції. Перетворення Лапласа», навчальний посібник для вузів. – К., 2004
3. Самарський А.А., Гулін А.В. Чисельні методи. – К., 2003
4. Синіцин О.К., Навроцкий А.А. Алгоритми обчислювальної математики. – К., 2003