Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку (стр. 2 из 3)

Таким чином ми правильно визначили канонічне рівняння

Визначимо фокус

еліпс.

Відстань між

знайдемо по:

У системі координат

Ексцентричний еліпс

Директриси

Висновок

Дослідивши загальне рівняння кривої другого порядку й привівши його до канонічного виду, ми встановили, що дана крива — еліпс. Ми одержали канонічне рівняння гіперболи за допомогою перетворень паралельного переносу й повороту координатних осей.

Дослідження форми поверхні другого порядку

Теоретична частина

Поверхнею другого порядку S називається геометричне місце крапок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівнянню виду:

де принаймні один з коефіцієнтів

відмінний від нуля.

Рівняння (3.1) називають загальним рівнянням поверхні другого порядку S, а систему координат Oxyz називають загальною системою координат.

Теорема: Для довільної поверхні S, заданої загальним рівнянням існує така декартова прямокутна система координат

що в цій системі поверхня S має рівняння одного з наступних сімнадцяти канонічних видів.

1)

— еліпсоїд,

2)

— мнимий еліпсоїд,

3)

— гіперболоїд,

4)

— гіперболоїд,

5)

— конус,

6)

— мнимий конус (крапка),

7)

— еліптичний параболоїд,

8)

— гіперболічний параболоїд,

9)

— еліптичний циліндр,

10)

— мнимий еліптичний циліндр,

11)

— дві мнимі пересічні площини (вісь O'),

12)

— гіперболічний циліндр,

13)

— дві пересічні площини,

14)

— параболічний циліндр,

15)

— дві паралельні площини,

16)

— дві мнимі паралельні площини,

17)

— дві співпадаючі площини (площина XOZ).

У вище перерахованих рівняннях a, b, c, p — позитивні параметри. Систему координат

називають канонічною.

Дослідження форми поверхні другого порядку методом перетину площинами

Якщо дано канонічне рівняння поверхні S, то подання про поверхню можна одержати за формою ліній перетинання її площинами:

Z = h — паралельними координатної площини XO',

X = h — паралельними координатної площини YO',

Y = h — паралельними координатної площини XO'.

Практична частина

Дано

Це еліпсоїд у прямокутної декартової системі координат Oxyz, де осі OX, OY, OZ - осі симетрії.

1. Розглянемо лінії

площинами Z=h (h=const):

(1)

Площина Z=h паралельна площини Oxy.

Рівняння проекцій

на Oxy мають вигляд:

Якщо

, те , і тоді поділимо обидві частини рівняння на , одержимо:

Це рівняння еліпсів з півосями

,

зі зменшенням

, центр еліпса (0;0;h)

При різних h маємо:

Якщо

, тоді й значить лінії задовольняючому рівнянню(1) немає.

2. Розглянемо

отримані в перетинах еліпсоїда площинами X=h:

(2)

Рівняння проекцій

на YOZ.

Це рівняння еліпсів з півосями

,

Якщо

, то a=3, b=2, і

Якщо

, тоді ми одержуємо сімейство еліпсів:

, ;

, ;

Якщо

, тоді — це рівняння крапки з координатами (h;0;0).

Якщо

, тоді й значить лінії задовольняючому рівнянню (2) немає.

3. Розглянемо

отримані в перетинах еліпсоїда площинами Y=h:

(3)

Рівняння еліпсів, проекцій

на YOZ і мають центри (0;h;0).

Півосі

,

Якщо

, тоді , рівняння крапок з координатами (0;h;0).

Якщо

, тоді ми одержуємо сімейство еліпсів

, ;