Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку (стр. 1 из 3)

Курсова робота

Дослідження кривої й форми поверхні другого порядку

Зміст

ВВЕДЕННЯ

ДОСЛІДЖЕННЯ КРИВОЇ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Теоретична частина

Практична частина

ВИСНОВОК

ДОСЛІДЖЕННЯ ФОРМИ ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Теоретична частина

Практична частина

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТОВУВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

Введення

Ціль

1. Метою даної курсової роботи є дослідження кривої й форми поверхні другого порядку. Закріплення отриманих теоретичних знань і практичних навичок по вивченню й аналізу властивостей кривих і поверхонь другого порядку.

2. Ознайомлення з пакетами програм Microsoft® Word і Microsoft® Excel.

Постановка задачі

I. Для даного рівняння кривої другого порядку:

1. Визначити тип даної кривої за допомогою інваріантів.

2. Привести рівняння кривої до канонічного виду, застосовуючи перетворення паралельного переносу й повороту координатних осей.

3. Знайти фокуси, директриси й асимптоти даній кривій (якщо вони є).

4. Побудувати канонічну систему координат і дану криву в загальній системі координат.

II. Для даного канонічного рівняння поверхні другого порядку:

1. Досліджувати форму поверхні методом перетинів площинами, побудувати лінії, отримані в перетинах;

2. Побудувати поверхня в канонічній системі координат.

Дослідження кривої другого порядку

Теоретична частина

Нехай крива Г задана в декартової прямокутній системі координат xOy рівнянням:

. (1.1)

Якщо хоча б один з коефіцієнтів

відмінний від нуля, то криву Г називають кривій другого порядку.

Теорема 1. Для довільної кривої другого порядку Г існує така декартова прямокутна система координат XO¢Y, що в цій системі крива Г має рівняння одного з наступних канонічних видів:

1)

, а ³ b > 0 — еліпс,

2)

— мнимий еліпс,

3)

— дві мнимі пересічні прямі (крапка),

4)

— гіпербола,

5)

— дві пересічні прямі,

6)

— парабола,

7)

— дві паралельні прямі,

8)

— дві мнимі паралельні прямі,

9)

— дві співпадаючі прямі.

У цих рівняннях a, b, p — позитивні параметри.

Систему координат XO (Y назвемо канонічною системою координат, а систему координат xOy - загальною системою координат.

Класифікація кривих другого порядку

Залежно від значення інваріанта

прийнята наступна класифікація кривих другого порядку:

· якщо

крива другого порядку Г називається кривій еліптичного типу.

· якщо

крива другого порядку Г називається кривій параболічного типу.

· якщо

крива другого порядку Г називається кривій гіперболічного типу.

Крива другого порядку Г називається центральної, якщо

. Криві еліптичного й гіперболічного типу є центральними кривими.

Центром кривої другого порядку Г називається така крапка площини, стосовно якої крапки цієї кривої розташовані симетрично парами. Крапка

є центром кривої другого порядку, обумовленої рівнянням (1.1), у тім і тільки в тому випадку, коли її координати задовольняють рівнянням:

(2.1)

(2.1)

Визначник цієї системи дорівнює

. Якщо , то система має єдине рішення. У цьому випадку координати центра можуть бути визначені по формулах:

, . (2.2)

З теорем 1 і 2 виходить наступна класифікація кривих другого порядку за допомогою інваріантів:

1) еліпс

2) мнимий еліпс

3) дві мнимі пересічні прямі (крапка)

4) гіпербола

5) дві пересічні прямі

(2.3)

6) парабола

7) дві паралельні прямі

8) дві мнимі паралельні прямі

9) дві співпадаючі прямі

Практична частина

Дано

Визначити тип кривої за допомогою інваріантів залежно від ?:

Обчислимо інваріанти:

1. Якщо

, то маємо лінії еліптичного типу

Цих ? буде еліпс

При

При

2. Якщо

то пишемо лінії параболічного типу, при цьому, щоб була парабола

3. Якщо

, то одержуємо лінії гіперболічного типу

При

гіпербола

При

корінь ні, тобто таких двох пересічних прямих, не існує.

Значення
Тип кривої	Мнима крапка	Крапка	Еліпс	Парабола	Гіпербола

Досліджуємо криву при ?=0 , тоді одержимо:

Спершу повернемо на кут ?:

Знайдемо кут φ,такий щоб коефіцієнт при

був дорівнює 0:

Нехай

Згрупуємо члени рівняння й доповнимо до повного квадрата:

Зробимо перенос системи координат

координати нового центра O системи координат