Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай
– максимальний внутрішній локальний екран формації . Формація - замкнута ( - замкнута) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого формація - замкнута (відповідно - замкнута).Доказ. Необхідність. Припустимо, що
- замкнуто ( - замкнута). Думаючи й застосовуючи теорему , ми одержуємо, що - замкнуто ( - замкнута) для будь - якого простого .Достатність. Нехай для будь - якого простого
формація є - замкнутою ( - замкнутої). Нехай – підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи . Покажемо, що . Тому що , те володіє - центральним головним рядомНехай
. Тому щоте
, де . Нехай . За умовою й . Звідси, через , випливає, що . Тим самим установлено, що рядє
- центральним рядом групи . Теорема доведена.Для будь - якого натурального числа
- замкнутий клас містить, по визначенню, кожну групу , у вигляді добутку нормальних - підгруп. Послабляючи цю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.Визначення. Клас груп
назвемо слабко - замкнутим, , якщо містить усяку групу , що має нормальних - підгруп з попарно взаємно простими індексами.Легко помітити, що якщо
й – підгрупи групи причому й взаємно прості, те . – локальний екран формації й нехай для деякого натурального числа виконується наступна умова: для будь - якого простого формація або збігається з , або входить в і є слабко - замкнутою. Тоді слабко - замкнута.Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що не входять в
, але нормальних - підгруп з попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу найменшого порядку. Таким чином, не належить , але має нормальні - підгрупи з попарно взаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи неодиничні.Нехай
– мінімальна нормальна підгрупа групи . У підгрупи мають попарно взаємно прості індекси й належать . Тому що для теорема вірна, те . Ясно, що – єдина мінімальна нормальна підгрупа групи , причому й для кожного . Через теорему 4.3. Тому що , те найдеться таке , що . Розглянемо , де пробігає все - головні фактори групи . Тому що , те , . Можливі два випадки.