Смекни!
smekni.com

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 11 из 15)

Теорема Подуфалова, Слепова 2 Нехай

– максимальний внутрішній локальний екран формації
. Формація
- замкнута (
- замкнута) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого
формація
- замкнута (відповідно
- замкнута).

Доказ. Необхідність. Припустимо, що

- замкнуто (
- замкнута). Думаючи
й застосовуючи теорему , ми одержуємо, що
- замкнуто (
- замкнута) для будь - якого простого
.

Достатність. Нехай для будь - якого простого

формація
є
- замкнутою (
- замкнутої). Нехай
– підгрупа (нормальна підгрупа) неодиничної групи
. Покажемо, що
. Тому що
, те
володіє
- центральним головним рядом

Нехай

. Тому що

те

, де
. Нехай
. За умовою
й
. Звідси, через
, випливає, що
. Тим самим установлено, що ряд

є

- центральним рядом групи
. Теорема доведена.

Для будь - якого натурального числа

- замкнутий клас
містить, по визначенню, кожну групу
, у вигляді добутку
нормальних
- підгруп. Послабляючи цю вимогу, ми приходимо до наступного визначення.

Визначення. Клас груп

назвемо слабко
- замкнутим,
, якщо
містить усяку групу
, що має
нормальних
- підгруп з попарно взаємно простими індексами.

Легко помітити, що якщо

й
– підгрупи групи
причому
й
взаємно прості, те
.

Теорема Слепова 3 Нехай

– локальний екран формації
й нехай для деякого натурального числа
виконується наступна умова: для будь - якого простого
формація
або збігається з
, або входить в
і є слабко
- замкнутою. Тоді
слабко
- замкнута.

Доказ. Припустимо, що теорема невірна. Тоді існують групи, що не входять в

, але
нормальних
- підгруп з попарно взаємно простими індексами. Виберемо серед всіх таких груп групу
найменшого порядку. Таким чином,
не належить
, але має нормальні
- підгрупи
з попарно взаємно простими індексами. Ясно, що всі підгрупи
неодиничні.

Нехай

– мінімальна нормальна підгрупа групи
. У
підгрупи
мають попарно взаємно прості індекси й належать
. Тому що для
теорема вірна, те
. Ясно, що
– єдина мінімальна нормальна підгрупа групи
, причому
й
для кожного
. Через теорему 4.3.
Тому що
, те найдеться таке
, що
. Розглянемо
, де
пробігає все
- головні фактори групи
. Тому що
, те
,
. Можливі два випадки.