Смекни!
smekni.com

Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 12 из 15)

Випадок 1. Нехай

. Тоді
неабелева й
. Звідси й з одиничності
випливає, що
. Але тоді
й, отже,
можна розглядати як деяку групу групи
, що діє тотожно на всіх
- головних факторах групи
. По добре відомій теоремі Ф. Холу
нильпотентна. Тому що
до того ж нормальна в
, те
. Але тоді
для будь - якого
, а тому що формація
слабко
- замкнута за умовою, те
. Але тоді
, тому що
й за умовою
. Одержали протиріччя.

Випадок 2. Нехай

. Тоді
входить в
і є
- групою. Тому що
, те
абелева. Нехай
– максимальна підгрупа групи
, не утримуюча
. Тоді
,
,
,
. Звідси, через одиничність
, містимо, що
, a виходить,
. По лемі 3.10
є
- групою. Але тоді і
є
- групою, причому
. Ми одержуємо, таким чином, що
для кожного
. Але тоді
, тому що
слабко
- замкнута. Останнє означає, що
- центральна в
, що суперечить рівності
. Знову одержали протиріччя.

Теорема доведена.

Наслідок 4 Нехай група

має дві нормальні
- понад розв'язні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді
- понадрозв'язна.

Для того щоб одержати цей наслідок, досить помітити, що побудований екран задовольняє умові теореми при

.

Наслідок 5 Нехай група

має дві нормальні підгрупи, індекси яких взаємно прості. Тоді
понад розв'язна .

Теорема Слепова 6 Нехай формація

має такий локальний екран
, що для будь - якого простого
формація
або збігається з
, або входить в
і є
- замкнутою. Тоді
- замкнута.

Доказ. Повторюємо з очевидними змінами доказ теореми .

Теорема Слепова 7 Нехай

– максимальний внутрішній локальний екран формації
. Формація
- замкнута (слабко
- замкнута,
) тоді й тільки тоді, коли для будь - якого простого
формація
- замкнута (відповідно слабко
- замкнута).

Доказ. Достатність випливає з теорем і . Нехай

- замкнута (слабко
- замкнута,
). Нехай
, де
– нормальні
- підгрупи (нормальні
- підгрупи з попарно взаємно простими індексами). Тому що
, те
. Покажемо, що
.