Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 13 из 15)

Нехай

, де , – елементарна абелева - група. для кожного . Тому що - замкнута (слабко - замкнута), те звідси випливає, що . Якщо – перетинання в усіх - головних факторів групи , то

Тому що

, те по лемі 3.10 підгрупа є - групою. Але тоді , тому що по теоремі 3.3 має місце рівність .

Теорема доведена.

Лема Чунихина 8 Нехай

, , . Тоді . Зокрема, якщо й , те непроста.

Доказ. З рівності

треба, що

Отже,

. Звідси, через для кожного , одержуємо . Лема доведена.

Теорема Виландт 9 Група

розв'язна, якщо вона має три розв'язні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Доказ. Нехай група

має розв'язні підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. Тоді . Нехай – мінімальна нормальна підгрупа з . Тому що розв'язно, те , – простої число. Через умову теореми, не ділить одночасно й . Нехай, для визначеності, не ділить . Це значить, що силовська - підгрупа з є силовською - підгрупою групи . Через теорему Силова , де . Тому що й , те по лемі . Таким чином, – неодинична розв'язна нормальна підгрупа групи . У фактор - групі індекси підгруп , і попарно взаємно прості. По індукції розв'язна, але тоді й розв'язна. Теорема доведена.

Випливаючи Крамеру, уведемо наступне визначення.

Визначення. Клас груп

називається - замкнутим ( – натуральне число), якщо містить усяку групу , що має - підгруп, індекси яких у при попарно взаємно прості.

По визначенню, порожня формація

- замкнута для кожного . Єдиної - замкнутою непустою формацією, відмінної від , умовимося вважати .

Лема 10 Нехай

і – - замкнуті класи груп. Тоді також - замкнуть.

Доказ очевидно.

Наступна лема доведена Крамером.

Лема 11 Нехай формація

втримується в і - замкнута, . Тоді формація є - замкнутою.

Доказ. Нехай група

має - підгрупи , ,…, ,індекси яких у попарно взаємно прості. Тому що , те по теоремі група розв'язна. При будь - якому гомоморфізмі групи образи підгрупи належать і мають попарно взаємно прості індекси. Тому можна вважати, що - корадикал групи є її єдиною мінімальною нормальною підгрупою. Ясно, що є - групою для якогось . Підгрупа Фиттинга групи також є - групою. Індекс будь - якої підгрупи, що не містить , ділиться на . Тому втримується принаймні в підгрупах нашої системи підгруп . Будемо вважати, що , . Тому що є - групою, те й , . Звідси й з наслідку випливає, що , . Тому що , те ми одержуємо, що , . Скориставшись - замкнутістю формації , ми приходимо до того, що .