Дослідження локальних формацій із заданими властивостями (стр. 14 из 15)

Лема доведена.

Теорема Крамер 12 Нехай

– такий локальний - екран формації , що для будь - якого простого формація - замкнута, . Тоді - замкнута.

Доказ. Тому що

– - екран, то для будь - якого простого , а виходить, . Нехай . Через лему 4.5. Якщо , те й - замкнута; якщо ж , те по лемі формація - замкнута. У кожному разі - замкнута. По лемі - замкнута. Застосовуючи лему , ми бачимо, що й формація - замкнута. Теорема доведена.

Тому що формація

має одиничний екран, що задовольняє умові теореми при , те ми одержуємо

Наслідок Кегель 13 Група

нилъпотентна, якщо вона має три нильпотентні підгрупи, індекси яких у попарно взаємно прості.

Цей факт випливає також і з наступного результату Кегля.

Лема 14 Клас усіх

- замкнутих груп - замкнуть.

Доказ таке ж, як і в теореми .

Лема 15 Кожна формація нильпотентних груп є

- замкнутою.

Доказ. Нехай

– деяка формація нильпотентних груп. Нехай група має - підгрупи , і з попарно взаємно простими індексами. Тоді по наслідку група нильпотентна. Якщо – найвищий ступінь простого числа , що ділить , то ділить для деякого , тому що не може ділити одночасно індекси всіх підгруп , і . Якщо ділить , то силовська - підгрупа із входить в і є силовскою - підгрупою групи . Тим самим показано, що всі силовські підгрупи нильпотентної групи є - групами. Тому що – формація, те звідси треба, що .